2003年全国初中数学联合竞赛决赛试题

一、选择题（每小题7分，共42分）

1、23－22＋17－122＝＿＿。A 5－42 B42－1 C5 D1

2、在凸10边形的所有内角中，锐角的个数最多是＿＿个。A0 B1 C3 D5 3、若函数y＝kx(k＞0)与函数y＝x－1的图象相交于A、C两点，AB垂直x轴于B，则△ABC的面积为＿＿。A1 B2 Ck Dk2

4、满足等式xy＋xy－2003x－2003y＋2003xy＝2003的正整数对的个

CD数是＿＿。A1 B2 C3 D4

E5、设△ABC的面积为1，D是边AB上一点，且AD∶AB＝1∶3。若在边AC上取一点E，使四边形DECB的面积为，则C D

6、如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切，若AB＝4，BE＝5，则ED的长为＿＿。A3 B4 C

1541434ECEA的值为＿＿。A B A1213B15 D

16 5二、填空题（每小题7分，共28分）

1、抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C。若△ABC是

直角三角形，则ac＝＿＿＿＿。 2、设m是整数，且方程3x2＋mx－2=0的两根都大于－

93而小于，则57CB1m=_______。 ADB3、如图，AA1、BB1分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA1E＝BB1＝AB，则∠BAC的度数为＿＿。

4、已知正整数a、b之差为120，它们的最小公倍数是其最大公约A1数的105倍，那么a、b中较大的数是＿＿。 三、（本题满分20分）

在△ABC中，D为AB的中点，分别延长CA、CB到点E、F，使DE＝DF；过E，F分别作CA、CB的垂线，相交于P，设线段PA、PB的中点分别为M、N。求证：①△DEM≌△DFN；②∠PAE＝∠PBF。

C

DBA

E FMN

P

四、（本题满分20分）已知实数a、b、c、d互不相等，且a＋＝b＋＝c＋＝

1a1b1cd+＝x，试求x的值。

五、已知：四边形ABCD的面积为32，AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16。①这样的四边形有几个？②求这样的四边形边长的平方和的最小值。

试题说明：这是2004年全国初中数学联赛试题(决赛)试题，今天把它录入进电脑，希望能够给假期需要研究的老师和学生们提供方便。还将陆续上传我自己录入电脑的前几年的联赛试题，请关注。

2003年全国初中数学联赛答案： 第一试

一、1、(D)；

2、(C)；由于任何凸多边形的外角之和都是360o，故外角中钝角的个数不超过3个，即内角中锐角最多不超过3个。

113、(A)；设A(x,y)，则xy?1，故S?ABO?xy?。又因为△ABO与△CBO

22同底等高，因此，S?ABC?2?S?ABO?1

4、(B)；由已知等式可得(xy?2003)(x?y?2003)?0 而x?y?2003?0，所以，xy?2003?0。故xy?2003

1d?x?1?x?2003又因为2003为质数，必有?或?

y?2003y?1??5、(B)；如图3，连结BE，S?ADE?1?31? 44ADEBCCE?x，则S?ABE?1?x。 设AC1?x11CE1S?ADE??,x?。故?

344EA36、(D)；如图4，连结AC、CE。

由AE∥BC，知四边形ABCE是等腰梯形。故AC＝BE＝5。

又因为Dc∥AB，DC与圆相切，所以，∠BAC＝∠ACD＝∠ABC。 则AC＝BC＝AD＝5，DC＝AB＝4

DEACBDC216? 因为DC?AD?DE，故DE?AD52二、1、－1；设A(x1,0),B(x2,0)。由△ABC是直角三角形可知x1,x2必异号。则x1x2?c?0 a2由射影定理知OC?AO?BO，即c2?x1?x2?c；故ac?1,ac??1 a??9?2?9??3?????m?????2?0??5??5?2、4；由题设可知，? 2?3???3?3??m?????2?0??7?7????813解得3?m?4。故m?4

21453、12o；设∠BAC的度数为x

因AB?BB'，故∠B'BD?2x,?CBD?4x又AB?AA'，则

1∠AA'B??ABA'＝∠CBD＝4x。因为∠A'AB?(180??x)

21故(180??x)?4x?4x?180?，解得x?12o 24、225；设(a,b)＝d，且a?md，b?nd，其中m?n，m与n互质。于是a,b的最小公倍数为mnd。依题意有

?md?nd?120(m?n)d?23?3?5?，即?mnd?105mn?3?5?7??d(1)(2)

?m?105?m?35?m?21?m?15又m?n，据式(2)可得? ???n?1n?7n?3n?5?????m?15根据式(1)，只能取?，可求得d?15

?n?7故两个数中较大的数是md?225。 第二试 A卷

一、解：设前后两个二位数分别为x,y，10?x,y?99 有(x?y)2?100x?y；即x2?2(y?50)x?(y2?y)?0 当△＝4(y?50)2?4(y2?y)?4(2500?99y)?0

即2500?99y?0，则y?25时，方程有实数解x?50?y?2500?99y 由于2500－y必为完全平方数，而完全平方数的未位数字仅可能为0，1，4，5，6，9，故y仅可取25；此时，x?30或?20

故所求四位数为2025或3025

二、(1)如图，据题设可知，DM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM 故∠AMD＝∠BND

因为M、N分别是Rt△AEP和Rt△BFP斜边的中点， 所以，EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM 又已知DE＝DF，故△DEM≌△FDN A(2)由上述三角形全等可知∠EMD＝∠FND，则∠AME＝∠BNF

E而△AME、△BNF均为等腰三角形，所以，∠PAE＝∠PBF

三、解：由已知有 1111a??x ①；b??x ②；c??x ③；d??x ④ bcda1由式①解出b? ⑤

x?ax?a式⑤代入式②得c?2 ⑥

x?ax?1x?a1将式⑥代入③得2??x

x?ax?1d即dx3?(ad?1)x2?(2d?a)x?ad?1?0 ⑦ 由式④得ad?1?ax，代入式⑦得(d?a)(x3?2x)?0 由已知d?a?0，故x3?2x?0

若x?0，则由式⑥可得a?c，矛盾。故有x2?2,x??2 B卷

一、同(A卷)第一题的解答。

二、如图，分别取AP、BP的中点M、N。连结EM、DM、FN、DN。由D是AB的中点，则

AEMPNCDBFCBDNFMPDM∥BN，DM＝BN，DN∥AM，DN＝AM。故∠AMD＝∠BND。 又因为M、N分别是Rt△AEP、Rt△BFP斜边的中点，所以， EM＝AM＝DN，FN＝BN＝DM。 因为DE＝DF，则△DEM≌△FDN

故∠EMD＝∠FND，从而，∠AME＝∠BNF

而△AME、△BNF均为等腰三角形，故∠PAE＝∠PBF

三、(1)如图，记AB＝a，CD＝b，AC＝l，并设△ABC的边AB上的高为h1，△ADC的边DC上的高为h2。则

11S四边形ABCD?S?ABC?S?ADC＝(h1a?h2b)?l(a?b)

22DA h2a lB h1bC仅当h1?h2?l时等号成立。即在四边形ABCD中，当AC⊥AB，AC⊥CD时等号成立。

由已知可得64?l(a?b)

又由题设a?b?16?l，可得64?l(16?l)?64?(l?8)2?64 于是，l?8,a?b?8，且这时AC⊥AB，AC⊥CD 因此，这样的四边形有如下4下：

a?1,b?7，l?8;a?2,b?6,l?8 a?3,b?5,l?8;a?b?4,l?8

它们都是以AC为高的梯形或平行四边形。

(2)又由AB＝a，CD＝8?a，则BC2?82?a2,AD2?82?(8?a)2 因此，这样的四边形的边长的平方和为

2a2?2(8?a)2?128?4(a?4)2?192

PFMANCDEB故当a?b?4时，平方和最小，且为192 (C)卷

一、同(A卷)第三题的解答。

二、除图的形式不同(如图)外，解答同(B卷)第二题 三、同(B卷)第三题解答。