高二选修2-2理科数学试卷

第I卷 （选择题, 共60分）

一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）

1、复数

52?i的共轭复数是( ) A、i?2 B、i?2 C、?2?i D、2?i

2、 已知f(x)=3x·sinx，则f'(1)=( ) A.

13+cos1 B. 113sin1+cos1 C. 3sin1-cos1 D.sin1+cos1 3、设a?R，函数f?x??ex?ae?x的导函数为f'?x?，且f'?x?是奇函数，则a为（ ） A．0 B．1 C．2 D．-1

4、定积分?1x0(2x?e)dx的值为（ ）

A．2?e B．?e C．e D．2?e

5、利用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋…1

2n－1

＝k＋1时，左边增加了( ) A．1项 B．k项 C．2k

－1

项 D．2k项

6、由直线y= x - 4，曲线y?2x以及x轴所围成的图形面积为（ ） A.

403 B.13 C.252 D.15 7、函数f(x)?x3?ax2?bx?a2在x?1处有极值10, 则点(a,b)为 （ ） （A）(3,?3) （B）(?4,11) （C） (3,?3)或(?4,11) （D）不存在 8、函数f(x)＝x2－2lnx的单调减区间是( )

A．(0,1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1]∪(0,1] D．[－1,0)∪(0,1] 9、 已知f(x?1)?2f(x)f(x)?2,f(1)?1 （x?N*），猜想f(x）的表达式（ ）

A.f(x)?42x?2； B.f(x)?212x?1； C.f(x)?x?1； D.f(x)?2x?1.

10、 若f(x)??12x2?bln(x?2)在(-1,+?)上是减函数，则b的取值范围是（ ） A. [?1,??) B. (?1,??) C. (??,?1] D. (??,?1)

11、点P是曲线y?x2?lnx上任意一点, 则点P到直线y?x?2的距离的最小值是（ ）

(A) １ (B)

2 (C) ２ (D) 22

12、对于R上可导的任意函数f（x），且f'(1)?0若满足（x－1）f?（x）>0，则必有（ ） A．f（0）＋f（2）? 2 f（1） B．f（0）＋f（2）? 2 f（1） C．f（0）＋f（2）> 2 f（1） D．f（0）＋f（2）? 2 f（1）

第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）

二．填空题（每小题5分，共20分）

13、设f(x)???x2,x?[0,1]2?x,x?(1,2]，则?0f(x)dx= ?214、若三角形内切圆半径为r，三边长为a,b,c则三角形的面积S?12（ra?b?c）；

利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1，S2，S3，S4； 则四面体的体积V=

15、若复数z＝2

1＋3i

，其中i是虚数单位，则|z|＝______.

16、已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围 _____．三、解答题（本大题共70分）

17、（10分）实数m取怎样的值时，复数z?m?3?(m2?2m?15)i是：

（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？

18、（12分）已知函数f(x)?x3?3x.

（1）求函数f(x)在[?3,32]上的最大值和最小值.

（2）过点P(2,?6)作曲线y?f(x)的切线，求此切线的方程.

19、（12分）在各项为正的数列?a中,数列的前n项和S1?n?n满足Sn?2???a1?n?a?, n??⑴求a1,a2,a3；

⑵由⑴猜想数列?an?的通项公式,并用数学归纳法证明你的猜想 20、（12分）已知函数f(x)?x3?ax2?bx?c在x??23与x?1时都取得极值 (1)求a,b的值与函数f(x)的单调区间

(2)若对x?[?1,2]，不等式f(x)?c2恒成立，求c的取值范围

21、（12分）已知函数f(x)?2x3?3x2?3. （1）求曲线y?f(x)在点x?2处的切线方程；

（2）若关于x的方程f?x??m?0有三个不同的实根，求实数m的取值范围.

22、（12分）已知函数f?x??x?a2x，g?x??x?lnx，其中a?0．

（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的x1,x2??1，e?（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，求实数a的取值范围．

参考答案

1、D 2、B 3、D 4、A 5、D 6、A 7、B 8、A 9、B 10、C 11、B 12、C 13、

5614、 13R（S1?S2?S3+S4） 15、1 16、[－1,7)

17.解：（1）当m2?2m?15?0，即m??3或m?5时，复数Z为实数；（3分）

（2）当m2?2m?15?0，即m??3且m?5时，复数Z为虚数；（7分） （3）当m2?2m?15?0,且m-3?0，即m?3时，复数Z为纯虚数；（10分）

18.解：（I）f'(x)?3(x?1)(x?1)，

当x?[?3,?1)或x?(1,3]时，f'(x)?0，?[?3,?1],[1,322]为函数f(x)的单调增区间 当x?(?1,1)时，f'(x)?0， ?[?1,1]为函数f(x)的单调减区间

又因为f(?3)??18,f(?1)?2,f(1)??2,f(392)??8， 所以当x??3时，f(x)min??18 当x??1时，f(x)max?2 …………6分

（II）设切点为Q(x33o,xo?3xo)，则所求切线方程为y?(xo?3x)?3(x2oo?1)(x?xo) 由于切线过点P(2,?6)，??6?(x3)?3(x2o?3xoo?1)(2?xo)，

解得xo?0或xo?3所以切线方程为y??3x或y?6?24(x?2)即

3x?y?0或24x?y?54?0 …………12分

19 .解:⑴易求得a1?1,a2?2?1,a3?3?2 …………2分

⑵猜想an?n?n?1(n?N*) …………5分

证明:①当n?1时,a1?1?0?1,命题成立

②假设n?k时, ak?k?k?1成立,

则n?k?1时, a1k?1?Sk?1?Sk?2(a111k?1?a)?2(ak?a) k?1k ?12(a11111k?1?a)?(k?k?1?)?(ak?1?)?k, k?12k?k?12ak?1 所以,a2k?1?2kak?1?1?0, ?ak?1?k?1?k.

即n?k?1时,命题成立. 由①②知,n?N*时,an?n?n?1. …………12分

20. 解：（1）f(x)?x3?ax2?bx?c,f'(x)?3x2?2ax?b 由f'(?23)?129?43a?b?0，f'(1)?3?2a?b?0得a??12,b??2 f'(x)?3x2?x?2?(3x?2)(x?1)，函数f(x)的单调区间如下表： 2 (??,?3) ?23 (?23,1) (1,??)

f'(x) 0 0 f(x) ? 极大值 ? 极小值 ? 所以函数f(x)的递增区间是(??,?2)与(1,??),递减区间是(?233,1)；…………6分

（2）f(x)?x3?12x2?2x?c,x?[?1,2]，当x??22223时，f(?3)?27?c 为极大值，而f(2)?2?c，则f(2)?2?c为最大值，要使f(x)?c2,x?[?1,2]

恒成立，则只需要c2?f(2)?2?c，得c??1,或c?2 …………12分

21 解：（1）f?(x)?6x2?6x,f?(2)?12,f(2)?7, ………………………2分

∴曲线y?f(x)在x?2处的切线方程为y?7?12(x?2)，即12x?y?17?0；……4分 （2）记g(x)?2x3?3x2?m?3,g?(x)?6x2?6x?6x(x?1)

令g?(x)?0,x?0或1. …………………………………………………………6分 则x,g?(x),g(x)的变化情况如下表

x (??,0) 0 (0,1) 1 (1,??) g?(x) ? 0 ? 0 ? g(x) Z 极大 ] 极小 Z 当x?0,g(x)有极大值m?3;x?1,g(x)有极小值m?2. ………………………10分

由g(x)的简图知，当且仅当??g(0)?0?g(1)?0,

即??m?3?0m?2?0,?3?m??2时， ?函数g(x)有三个不同零点，过点A可作三条不同切线.

所以若过点A可作曲线y?f(x)的三条不同切线，m的范围是(?3,?2).…………12分

22. 解：（1）解法1：∵h?x??2x?a2x?lnx，其定义域为?0， ???， ∴h??x??2?a21x2?x．

∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a2?0．

∵a?0，∴a?3．

经检验当a?3时，x?1是函数h?x?的极值点，

∴a?3．

解法2：∵h?x??2x?a2x?lnx，其定义域为?0，???， ∴h??x??2?a21x2?x．

令h??x??0，即2?a2122x2?x?0，整理，得2x?x?a?0．

∵??1?8a2?0，

?1?1?8a2∴h??x??0的两个实根x?1?1?8a21?4（舍去），x2?4，

当x变化时，h?x?，h??x?的变化情况如下表：

x ?0,x2? x2 ?x2,??? h??x? — 0 ＋ h?x? ] 极小值 Z ?1?1?8a2依题意，?1，即a24?3，

∵a?0，∴a?3． （2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的x1,x2??1，e?都

有??f?x???min≥??g?x???max． 当x?［1，e］时，g??x??1?1x?0． ∴函数g?x??x?lnx在?1，e?上是增函数． ∴??g?x???max?g?e??e?1．

∵f??x??1?a2?x?a??x?a?x2?x2，且x??1,e?，a?0． ①当0?a?1且x?［1，e］时，f??x???x?a??x?a?x2?0， ?a2∴函数f?x??xx在［1，e］上是增函数，

∴??f?x???min?f?1??1?a2. 由1?a2≥e?1，得a≥e， 又0?a?1，∴a不合题意．

②当1≤a≤e时，

若1≤x＜a，则f??x??x2?x?a??x?a??0．

若a＜x≤e，则f??x??x2a2∴函数f?x??x?在?1,a?上是减函数，在?a，e?上是增函数．

x∴??f?x???min?f?a??2a.

由2a≥e?1，得a≥又1≤a≤e，∴

?x?a??x?a??0，

e?1， 2e?1≤a≤e． 2③当a?e且x?［1，e］时，f??x???x?a??x?a??0，

x2a2∴函数f?x??x?在?1，e?上是减函数．

xa2∴??f?x???min?f?e??e?e.

a2

由e?≥e?1，得a≥e，

e

又a?e，∴a?e．

?e?1?,???． 综上所述，a的取值范围为??2?