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从而可知无差异曲线如图3-13所示，不是凸状的，而是凹状的。 （3）在完全替代型的效用函数下，有：
U?x1,y1??k?U?x2,y2??U???x1?x2?/2,?y1?y2?/2??
因而无差异曲线既不是凹状的，也不是凸状的，而是线性的。
5．Phillie Phanatic总是喜欢以一种特定的方式来吃BallparkFranks牌的热狗：他将1英尺长的热狗，恰好配以半块小圆面包，1盎司芥末以及2盎司的咸菜调味品同时食用。
他的效用是以上四种物品的函数，并且额外一种物品的数量增加而其他成分不变是不会增加他的效用的。
（1）Phillie Phanatic对于这四种物品的效用函数的形式是什么？
（2）我们可以如何将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题？这种商品是什么？
（3）假设每英尺热狗的价格为1美元，小圆面包价格为0.5美元，每盎司芥末的价格为0.05美元，每盎司咸菜调味品的价格为0.15美元，则（2）问中定义的商品的价格是多少？
（4）如果每英尺热狗的价格增加50%（即增至1.5美元），则该商品的价格增加的百分比是多少？
（5）小圆面包的价格上涨50%将如何影响该商品的价格？你的答案与（4）问中有何不同？
（6）如果政府对Phillie Phanatic购买的每单位商品征税1美元，则税收将如何在这四种商品中分担，从而使Phillie Phanatic的效用成本最小化？
解：（1）如果h代表热狗，b代表小圆面包，m代表芥末，r代表调味品，则Phillie Phanatic的效用函数可以表示为：
U?h,b,m,r??Min?h,2b,m,0.5r?
这是完全互补效用函数。 （2）可以将Phillie Phanatic的效用视为一种商品的函数来简化问题，即将上述四种物品的组合视为是一种完全调配好的热狗。
（3）该种商品的价格是：1?0.5?0.5?0.05?2?0.15?1.6（美元）。 （4）如果热狗的价格增至1.5美元，则该商品的价格为：
1.5?0.5?0.5?0.05?2?0.15?2.1（美元）
因此，该种商品的价格上涨幅度为：?2.1?1.6??1.6?31%。
（5）如果小圆面包的价格增至0.5??1?0.5??0.75（美元），则该种商品的价格为：
1?0.5?0.75?0.05?2?0.15?1.725（美元）
因此，该种商品的价格上涨幅度为：?1.725?1.6??1.6?7.8%。
（6）提高价格以使完全调配好的热狗的价格增至2.6美元，从而在征税1美元的情况下，这将等价于购买力的总额减少。为使Phillie Phanatic的效用成本最小化，增收的1美元税收应该在各种商品之间按固定比例分担，即按1:2:1:0.5进行分担。即对每英尺热狗征税0.22美元，每单位小圆面包征收0.44美元，每盎司芥末征收0.22美元，每盎司咸菜985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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征收0.11美元，此时Phillie Phanatic的效用成本最小。
6．许多广告语似乎表明了人们的某些偏好。你将如何利用效用函数来描述下列广告语？
（1）人造黄油与真黄油一样好。 （2）饮可口可乐，万事如意。
（3）你不能仅吃Pringle牌的薯条。
（4）Krispy Kreme牌的油炸饼圈就是比Dunkin牌的好。 （5）Miller Brewing建议我们“负责任地”喝（啤酒）。（什么是“不负责任地”喝酒呢？）
答：（1）如果用p代表人造黄油消费量，b代表真黄油消费量，则效用函数可以表示为：
U?p,b??p?b
这表示人造黄油和真黄油是完全替代品，它们之间的替代比率是1∶1。
（2）如果用x代表其他商品的消费量，y代表可口可乐的消费量，则效用函数可以表
?2U示为：U?x,y?，且满足：?0。
?x?y例如效用函数U?x,y??2xy就可以表示这种偏好。
（3）如果用p代表Pringle牌的薯条的消费量，x代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：U?p,x?＞U?1,x?，对于所有的p?1以及x成立。
（4）如果用k代表Krispy Kreme牌的油炸饼圈的消费量，d代表Dunkin牌的油炸饼圈的消费量，x代表其他商品的消费量，则效用函数可以表示为：U?k,x??U?d,x?，对于所有的k?d成立。
（5）如果用U?代表其他人的效用水平，x代表其他商品的消费量，b代表啤酒的消费量，则效用函数可以表示为：U?x,b,U??，且满足
?U?0（这表示有利他偏好，说明他喝酒?U?是负责任的），一个人喝酒会影响别人的效用水平。
7．假设某人起初拥有一定数量的两种商品，这两种商品都会给他（她）带来效用。两种商品的初始数量分别为：x和y。
（1）在此人的无差异曲线图中画出初始的商品组合。 （2）如果此人可以用x与其他人交换y（或用y交换x），则他（她）将自愿进行何种类型的交换？他（她）将不愿进行何种类型的交换？这些交换如何与此人在点（x，y）处的MRS有关？
（3）假设此人对其拥有的初始商品数量较为满意，并且仅考虑那些能使其效用增加k的交换。你将在无差异曲线图中如何反映这一点？
答：（1）此人无差异曲线如图3-14所示，它的初始商品拥有量为图中的A点。
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图3-14 无差异曲线及交换活动对效用的影响
（2）任何不同于在（x，y）处的MRS的交易机会都有可能提高效用水平。如图3-14所示，代表了提高效用的交换。
（3）对初始商品组合的偏好要求交换活动能够大幅度提高效用才能促使交换发生。因而交换活动只有在交换后的MRS显著不同于在（x，y）处的MRS时才更有可能发生，如图3-14所示。
8．柯布-道格拉斯效用函数U?x,y??x?y?的边际替代率为：
??y/x? ?（1）这个结果是否取决于????1？它与选择理论有无关系？
（2）对于一组商品y?x，其边际替代率如何取决于?和?？为什么???时，
MRS?MRS?1？请图示你的直观解释。
（3）x0与y0为给定的最低生活水平，假设某人的效用仅仅是由超过这一最低水平的x与y的数量来决定，在这种情况下，
U?x,y???x?x0????y?y0?
这是一个位似函数吗？ 答：（1）边际替代率为：
?U/?x?x??1y??MRS????y/x?
?U/?y?x?y??1?这个结果与生产理论不同，不取决于???的值。???在消费理论中无关紧要，因为效用唯一取决于单调变换。
（2）对于一组商品y?x，边际替代率为：MRS??，如果???，则消费者对x的评?价相对更高，从而MRS?1。
（3）该函数关于（x?x0）和（y?y0）是位似的，而关于x和y不是位似的。
9．如果效用函数满足：
?2U?2U??0 ?y?x?x?y则称它的两种商品具有独立的边际效用。试证明当我们假定每一种商品的边际效用为985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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递减时，具有独立边际效用的效用函数都会有递减的边际替代率。举例证明其逆命题是错的。
证明：f12?0意味着只要f11，f22?0，则MRS递减。原命题得证。 原命题的反命题是：如果具有独立边际效用的任一效用函数都会有递减的边际替代率，则每一种商品的边际效用是递减的。下面来证明此命题不一定成立。
在两种消费商品的效用函数下，递减的边际替代率意味着下式成立：
f22f11?2f1f2f12?f12f22?0
当f12?0时，上式变为f22f11?f12f22?0。显然，这无法推出f11，f22?0的结论。 10．（1）证明：CES函数
?是位似函数。MRS如何取决于y/x？
x????y??
（2）证明：从（1）问中所得的结论与我们对??1（完全替代）和??0（柯布-道格拉斯）情形下的讨论相符。
（3）证明：对于所有的??1，MRS是严格递减的。
（4）证明：如果x?y，则这个函数的MRS仅取决于?和?相对值的大小。 （5）计算??0.5或???1情况下，当y/x?0.9，y/x?1.1时，这一函数的MRS？当MRS在x?y附近变动时，它的变动程度如何？你如何从几何图形上给予解释？
证明：（1）边际替代率为：
?U/?x?x??1?1??MRS ? ? ??1 ? ?y/x?
?U/?y?y?因而该函数是位似的。 又因为：
?MRS??1????MRS??1??????? ? ? ?y/x?，所以当??1时，? y/x??0，即
??y/x????y/x??随着y/x的递增，MRS递减；
当??1时，
?MRS??1????? ? ?y/x??0，即随着y/x的递增，MRS递增；
??y/x???MRS??1????? ? ?y/x??0，即随着y/x的递增，MRS不变。
??y/x??当??1时，
（2）如果??1，MRS??/?为一常数；如果??0，MRS???y/x?，这与第8题的结?论相符。
（3）对于所有的??1，有：1???0，所以MRS递减。
（4）当x?y时，MRS??/?，所以MRS仅取决于?、?相对值的大小。
????0.50.5（5）当??0.5时，MRS?0.9?? ??0.9??0.949，MRS?1.1?? ?1.1?? 1.05； ????985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解