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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）
第2篇 选择与需求 第3章 偏好与效用
课后习题详解
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1．画出下列效用函数的无差异曲线，并判断它们是否是凸状的（即边际替代率MRS是否随着x的增加而递减）。
（1）U?x,y??3x?y （2）U?x,y??x?y （3）U?x,y??x?y （4）U?x,y??x2?y2 （5）U?x,y??xy x?y答：（1）无差异曲线如图3-7所示，为一组直线。边际替代率为：MRS?fx/fy?3/1?3，为一常数，因而无差异曲线不是凸状的。
图3-7 完全替代型的无差异曲线
（2）无差异曲线如图3-8所示，为性状良好的无差异曲线。边际替代率为：
MRS?fx/fy?0.5?y/x?0.5?y/x?0.5?0.5?y/x，随着x的递增，MRS将递减，因而有凸的无差异曲线。
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图3-8 凸状的无差异曲线
（3）无差异曲线如图3-9所示。边际替代率为：MRS?fx/fy?0.5x?0.5，因而边际替代率递减，无差异曲线是凸状的，此为拟线性偏好的效用函数。
图3-9 拟线性型的无差异曲线
（4）无差异曲线如图3-10所示。 边际替代率为：MRS?fx/fy?0.5?x2?y2?代率递增，无差异曲线不是凸状的。
?0.5?2x/0.5(x2?y2)?0.5?2y?x/y，因而边际替
图3-10 凹状的无差异曲线
（5）无差异曲线如图3-11所示。 边际替代率为：MRS?fx/fy??x?y?y?xy?x?y?x?xy22/?y/x，因而边际替代率递22x?yx?y????985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解
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减，无差异曲线是凸状的。
图3-11 凸状的无差异曲线
2．在第3章的脚注7中，我们已经证明：为例使得一个关于两个商品的效用函数有严格递减的MRS（即该函数严格拟凹），则如下的条件必须成立：
f22f11?2f1f2f12?f12f22?0
利用该条件检验第1题中的每个效用函数相应的无差异曲线的凸性。描述此过程中你发现的任何捷径。
答：在第1题中，由于所有的一阶偏导数都是正的，所以仅需要检验二阶偏导数。 （1）因为f11?f22?f2?0，所以该效用函数不是严格拟凹的。 （2）因为f11，f22?0，f12?0，所以该效用函数是严格拟凹的。 （3）因为f11?0，f22?0，f12?0，所以该效用函数是严格拟凹的。
（4）尽管仅考察x?y时的情形，但是二阶偏导数的符号是不确定的，所以效用函数不一定是严格拟凹的。
（5）因为f11，f22?0，f12?0，所以效用函数是严格拟凹的。
3．对于如下效用函数： （1）U?x,y??xy （2）U?x,y??x2y2 （3）U?x,y??lnx?lny
证明：尽管这些效用函数具有递减的MRS，但是它们分别显示出边际效用不变、递增、递减。你能从中得出什么结论？
证明：（1）Ux?y，Uxx?0，Uy?x，Uyy?0，MRS?y/x； （2）Ux?2xy2，Uxx?2y2，Uy?2x2y，Uyy?2x2，MRS?y/x； （3）Ux?1/x，Uxx??1/x2，Uy?1/y，Uyy??1/y2，MRS?y/x。
从以上分析可知，单调变化会影响递减的边际效用，但是不会影响边际替代率MRS。
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4．如图3-12所示，一种证明无差异曲线的凸性的方法是，对于特定无差异曲线U?k上的任何两点（x1，y1）和（x2，y2），两点的中点??x1?x2y1?y2,22???相应的效用至少与k一?样大。利用此方法来讨论如下效用函数的无差异曲线的凸性。务必图示你的结论。
图3-12 利用图形判断凸性
答：（1）如果两个商品组合的数量相等，则有：
U?x1,y1??x1?k?U?x2,y2??x2?U???x1?x2?/2,?y1?y2?/2????x1?x2?/2
如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：y1?x1?k?y2?x2，因而有：
?x1?x2?/2?k ?y1?y2?/2?k
从而可知无差异曲线如图3-13所示，是凸状的。
图3-13 利用图形来判断无差异曲线的性状 （2）由（1）可知，两个商品组合的数量相等，则有：
U?x1,y1??x1?k?U?x2,y2??x2?U???x1?x2?/2,?y1?y2?/2????x1?x2?/2
如果两个商品组合的数量不同，不失一般性，可设：y1?x1?k?y2?x2，因而有：
?x1?x2?/2?k，?y1?y2?/2?k
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