找出条件证明两个三角形全等．

16．如图，已知等边△ABC，点D在AC的外侧，将BD绕点B顺时针旋转60°至BF，点F与点D相对应，连接AF，AD，AD=2，∠CBD=15°，∠AFB=30°，则AF的长为 ．

【分析】通过作辅助线得到等边三角形，由角的度数知道EF是角的平分线，根据三线合一得到线段的垂直平分线，于是得到△DAB是等腰直角三角形，求得DE，AE的长度，也就求出了DF，再由勾股定理求得EF，从而求出AF． 【解答】解：连接DF，延长FA交BD于E， ∵BD绕点B顺时针旋转60°至BF， ∴BD=BF，∠DBF=60°， ∴△BDF是等边三角形， ∴∠BFD=60°， ∵∠BFA=30°， ∴∠DFA=30°， ∴FE垂直平分BD，

∴AD=AB，∵∠ABC=60°∠CBD=15°， ∴∠ABD=45°，

∴△DAB是等腰直角三角形， ∴DE=AE=∴BD=DF=2∴EF=

AD=， =

， ，

∴AF=EF﹣AE=故答案：

﹣

﹣．

，

【点评】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，等腰三角形的性质三线合一，勾股定理的应用等知识点．

17．（2009春?江阳区校级期中）如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q． 求证：①△ADC≌△BEA； ②BP=2PQ．

【分析】（1）由已知可得△ABC是等边三角形，从而得到∠BAC=∠C=60°，根据SAS即可判定△ADC≌△BEA；

（2）根据全等三角形的性质可得到∠ABE=∠CAD，再根据等角的性质即可求得∠BPQ=60°，再根据余角的性质得到∠PBQ=30°，根据在直角三角形中30°的角对的边是斜边的一半即可证得结果． 【解答】证明：（1）∵AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形． ∴∠BAC=∠C=60°． ∵AB=AC，AE=CD，

∴△ADC≌△BEA．

（2）∵△ADC≌△BEA， ∴∠ABE=∠CAD． ∵∠CAD+∠BAD=60°， ∴∠ABE+∠BAD=60°． ∴∠BPQ=60°． ∵BQ⊥AD， ∴∠PBQ=30°． ∴BP=2PQ．

【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及全等三角形的判定及性质等知识点的综合运用能力．

18．等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

【分析】先根据等边三角形的性质得出△AOH≌△BOD，再得出△OHE≌△ODF，于是DF=HE从而可得CE=CF．再由∠C=60°，所以△CEF是等边三角形． 【解答】解：如图：

∵△ABC是等边三角形，AD是高，BH是∠ABC的角平分线， ∴AC=BC，∠AHO=∠EHO=∠BDO=∠FDO，CD=CH， ∴AO=BO．

在△AOH与△BOD中，

，

∴△AOH≌△BOD（AAS）． ∴OH=OD．

∵△OEF是等边三角形 ∴OE=OF．

在Rt△OHE与Rt△ODF中，

，

∴△OHE≌△ODF（HL）． ∴DF=HE． 又∵CD=CH， ∴CE=CF． 又∵∠C=60°，

∴△CEF是等边三角形．

【点评】本题主要考查了等边三角形的判定以及全等三角形的判定与性质．难度适中．