16．如图：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD与BE相交于点P，BQ⊥AD于Q．

求证：①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．

17．等边三角形ABC中，AD是高，AD=3，∠ABC的平分线交AD于点O，E是AC边上的运动点，连结OE且以OE为边长的等边△OEF，当F点落在BC边上时，请你证明△CEF是等边三角形．

答案及解析

1．（2015秋?武昌区期中）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线

AE、DF分别交BC于点E、F．若EF=2，AB=5，则AD的长为（ ）

A．7 B．6 C．8 D．9

【分析】根据平行线的性质得到∠ADF=∠DFC，由DF平分∠ADC，得到∠ADF=∠CDF，等量代换得到∠DFC=∠FDC，根据等腰三角形的判定得到CF=CD，同理BE=AB，根据已知条件得到四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AB=CD，AD=BC，即可得到结论． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠ADF=∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF=∠CDF， ∴∠DFC=∠FDC， ∴CF=CD， 同理BE=AB，

∵AB∥CD，AD∥BC，

∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∴AB=BE=CF=CD=5， ∴BC=BE+CF﹣EF=8， ∴AD=BC=8． 故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的性质，解答本题的关键是判断出BA=BE=CF=CD．

3．（2014秋?江津区期末）如图，△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，若BC=8，则DF的长是（ ）

A．2 B．3 C． D．4

【分析】首先根据条件D、E分别是BC、AC的中点可得DE∥AB，再求出∠BFD=∠DBF，根据等角对等边可得到DB=DF．

【解答】解：∵△ABC中，D、E分别是BC、AC的中点， ∴DE∥AB，BD=BC=4， ∴∠ABF=∠BFD， ∵BF平分∠ABC， ∴∠FBC=∠ABF， ∴∠BFD=∠DBF， ∴DB=DF=4， 故选D．

【点评】此题主要考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是证明DE∥AB，可得到∠BFD=∠DBF．

4．（2014秋?巢湖期末）如图，∠B、∠C的平分线相交于F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是

①△BDF、△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长为AB+AC；④BD=CE．（ ）

A．③④ B．①② C．①②③ D．②③④

【分析】由平行线得到角相等，由角平分线得角相等，根据平行线的性质及等腰三角形的判定和性质． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB，

∵BF是∠ABC的平分线，CF是∠ACB的平分线， ∴∠FBC=∠DFB，∠FCE=∠FCB， ∵∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF， ∴△DFB，△FEC都是等腰三角形． ∴DF=DB，FE=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC， ∴△ADE的周长AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC． 故选C．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质及角平分线的性质及平行线的性质；题目利用了两直线平行，内错角相等，及等角对等边来判定等腰三角形的；等量代换的利用是解答本题的关键．

5．（2014秋?淮南期末）如图，∠ABC=50°，BD平分∠ABC，过D作DE∥AB交BC于点E，若点F在AB上，且满足DF=DE，则∠DFB的度数为（ ）

A．25° B．130° C．50°或130° D．25°或130°

【分析】如图，证明∠DFB=∠DEB，此为解决问题的关键性结论；求出∠DEB=130°，即可解决问题．