二 多元函数

1. 二元函数定义：设D是二维空间R2的非空子集，若?P(x,y)?D，按某一对应法则f，都唯一的对应着一个实数z，f:(x,y)?z，则称对应法则f是定义在D上的一个二元函数记为，f:D?R或z＝f(x,y)(或z?f(P))。

把D叫f的定义域，全体函数值组成立集合：f:(D)??z|z?f(x,y),(x,y)?D?叫函数的值域。

例如：z?1?x2?y2是定义在闭圆x2?y2?1的一个二元函数。 2. 二元函数的图像

设二元函数z?f(x,y)的定义域为D，显然是D是xoy平面上的一个点集。

?P(x,y)?D，都对应着一个函数值z?f(P)，于是就确定了R3中的一个点Q(x,y,z)?R3，当P在D中变化时，就得到了R3中的若干个点，把这些点组成的集Q(x,y,z)|(x,y)?R2,z?f(x,y)?叫函数Z?f(x,y)的图象。 合?一般地二元函数Z?f(x,y)的图象是R3中的一块曲面。

例：判别下列函数的图象是什么图形

1）z?1?x2?y2（∵）闭圆x2?y2?1上的上半球。 2）f(x,y)?3x?y?1,(z?f(x,y)?3x?y?1)，

?xyz1???1 ，∴是在三个轴上截距为a?,b??1,c?1的一个平面。 1?113?3当自变量是三个时，叫三元函数，…是n个时叫n元函数（见P144定义），

y?f(x1x2?xn),p(x1x2?xn)?Rn. 把二元和二元以上的函数叫多元函数。

为什么要把函数分为一元和多元呢？因为一元函数过渡到二元函数时，有些性质要发生变化，但从二元过渡到三、…多元函数时，性质就完全一样了.

我们知道二元函数的定义域是R2中的一个点集，其图象是R3的一块曲面（一般情况下）三元函数的u?f(x,y,z),(x,y,z)?V的定义域是R3的一个一个立体，而函数的图象是R4的一个点集，没有同和何模型.

例：求下列多元函数的定义域，并指出定义域所表示的图形，

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1）z?ln(x?y) 2）f(x,y)?x2?y2?1?4?x2?y2 3）f(x,y,z)?11?x?y?z222 解：1）定义域D??(x,y)|x?y?0?

是R2上以y??x2为边界（不包含边界）的半平面

22??x?y?1?0221?x?y?4 2）∵? ∴22??4?x?y?0 ∴D??(x,y)|1?x2?y2?4?是R2上以O(0,0)为中心1与2为半径的闭圆环。 3）∵1?x2?y2?z＞0

D＝?(x,y,z)|x2?y2?z2?1?是R3上以球面x2?y2?z2?1为边界的开球体。

?2xy?22例：已知f(x,y)??x?y?0?当x2?y2?0(?x,y至少有一个不为0)当x2?y2＝0(?x＝0且y?0)

求f(3,1),f(0,2),f(0,0)

作业：Ｐ143 9, 10, 11, 12

3. 二元函数的极限

在一元函数中，从xo的两侧以任意方式趋于xo时，limf(x)?b是指当x在X轴上，

x?xof(x)都超于b:f(x)?b，用“”语言来描述，

x?xolimf(x)?b????0,???0,?x:0?|x?x0|??有｜f(x)?b｜??。

那么二元函数z?f(x.y)的极限又怎样呢？

设Ｐ(a,b)是f(x,y)的定义域D的一个聚点。A是一个常数。∵二元函数的自变量P(x,y)的变化范围不再只是x轴上的一个区间，而是xoy平面的一个平面区域D.

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所以二元函数z?f(x,y)的极限应该是：当动点P(x,y)以任意路径和任何方式→

P(a,b)(其趋于的路线可以是直线，抛物线或任意曲线)都有：f(x,y)?A，这时把A

叫二元函数f(x,y)当P(x,y)?P0(a,b)时的极限记为limf(P)?A，又∵

P?PoP?P0?x?a,y?b，∴上面的极限又可改写成：limf(x,y)?A

x?ay?b上面根据只是一种形象的描述，下面定出严格中的“???”定义。

（1）二重极限定义：设函数f(P)在区域D的有定义，Po是D的聚点，A是常数.

（P0,?）)有｜f(P)?A｜??)，则称若???0,???0,?P?D:0?|P?P0|??(或P?U函数f（P）在点P0二重极限是A.limf(P)?A

P?Po因为：?p?D:0?|p?p0|????P(x,y)?D:0<|x?a|

定义：设f(x,y)定义在点集D上，P0(a,b)是D的聚点，A是常数.

若???0,???0,?P(x,y)?D:0?|x?a|??与0?|y?b|??有|f(x,y)?A|??则称函数f(x,y)在P0(a,b)存在极限A，记为limf(x,y)?A.

x?ay?b1）解释定义的义意：???0,???0，当点P(x,y)一旦入进了以P0为心的?的去心邻域，函数在P点的函数值与A的着的绝对值就小于?.

2）上面定义可写为：

limf(x,y)?A????0，???0，?P(x,y)?D:0?|x?a|??,0?|y?b|??有|f(x,y)?A|??x?ay?b例：用“???”定义证明：1）lim(3x?5y)?11； 1）lim(x2?y2)?5；

x?2y??1x?1y?2分析：用定义证明二元函数的极限的方法与一元函数完全一定：首先

???0,找??0,使P(x,y)当0<|x?a??,0

|f(x,y)?A|??解出一个含|x?a|与|y?b|的不等式，通过观察可找出?.

证明：1）???0

∵|f(x,y)?A|?|(3x?5y)?11|?3(x?2)?5(y?(?1))?3x?2?5y?1

（∵本题领域是|x?2|＜?，|y?(?1)|?|y?1|＜?，∴要想办法在绝对值中找出

|x?2|,与|y?1|）

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∴???0，取???10,则?P（x,y）:0?|x?2|??,0?|y?1|??,|y?(1)?|y?1|??，∴

就有|(3x?5y)?11|?3|x?2|?5|y?1|?5?2???.#。 102）分析：∵|f(x,y)?5|?|(x2?y2)?5|?|(x?1)(x?1)?(y?2)(y?2)|

?|x?1|?|x?1|?|y?2|?|y?2|（∵要通过不等式向右方放大，消去x?1,|y?2|，

这须把点P(x,y)限制在P0(1,2)的某一个邻域里找出它们的界即可. （把P(x,y)限制在以点P0(1,2)的“??1”领域中），

证明：取?1?1，?P(x,y)?D限制：0?|x?1|??1?1,0?|y?2|??1,则：

|x?1|?|x?1?1|?|x?1|?2?3,|y?2|?|y?2|?4?5

???0，要使|f(x,y)?5|?|(x2?y2)?5|?|(x?1)(x?1)?(y?2)(y?2)|

?x?1?x?1?y?2?y?2?3x?1?5y?2?5(x?1?y?2)??成立，只要取

2???min{1,即可}.

10讨论1：限制P(x,y)的目的是什么？半径?1不取，可不可？

11?xsin?ysinxy?0?yx例：证明：函数f(x,y)??，在原点（0,0）的极限是0. ?0xy?0,且(x,y)?(0,0)?讨论：函数f(x,y)在原点（0,0）有没有定义。（没有！）

证明：??＞0,（分两种情况讨论。—？∵当P(x,y)进入以（0,0）为心的领域时，函数值有两种情况）；

1）当P(x,y):xy?0且(x,y)?(0,0)时，显然???0,?P(x,y):x?0??,y?0??都有|f(x,y)?0|?|0?0|?0??

2）当xy?0,????2?0,?P(x,y):x?0??,y?0??

11?ysin|?|x|?|y|?2???， 综上所述： yx |f(x,y)?0|?|xsin???0,???0,?P(x1y):0?x?0??,0?y?0??有|f(x,y)?0|??#.

从本题看到f(x,y)在（0,0）无定义，但存在极限，∴函数在点P0的极限与在点P

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