其中??f(x1,x2,,xn)+?1F1(x1,x2,,xn)???mFm(x1,x2,,xn)（叫拉格朗日函数）

注：上面定理：指出函数z?f(x1,x2,,xn)在限制条件（?）之下条件极值点全部包含

于方程组(?)的解所确定的点（即包含于拉格朗日函数的稳定点）.

这实际指出了求条件极值点的方法：只需把拉格朗日函数的稳定点求出来，再逐个加以判别即可求出函数z?f(x1,x2,,xn)的全部条件极值点.

例3. 设有半径为R的圆的内接三角形ABC，问怎样的内接三角形ABC有最大面积？

解：设?ABC三边AB,BC,AC所对的中心角为:x,y,z, 面积为s.

s?1211Rsinx?R2siny?R2sinz，且x?y?z?2?，得;拉格朗日函数：222??R2sinx?R2siny?R2sinz??(x?y?z?2?)

?R2??cosx???0??x2?R2?所以：???cosy???0 y?2??R2??cosz???0??z2?所以：x?y?z?1212120?x,y,z?2? ，由cosx?cosy得x?y

2?2?2?2?，由实际意义s有最大值，所以点P(,,)是函数s的最大值33332?时，即?ABC为等边三角形时，其面积最大. 3点. 所以当x?y?z?讨论：求条件极值分几步？（三步：1o)构造拉格朗日函数；2o)求拉格朗日函数的稳定点；3o)求函数的极值点.）

课堂作业：例. 求抛物线y?x2与直线x?y?2?0 之间的距离..

分析：其距离是指：抛物线与直线上任意两点的距离PQ的最小值. 解：在抛物线和直线上各任取一点P(x,y)与Q(u,v)，

令PQ?(x?y)2?(u?v)2（问题就是要求z的最小值！）设z?(x?y)2?(u?v)2 且x2?y?0,u?v?0， 设??(x?y)2?(u?v)2??1(x2?y)??2(u?v)，则：

49

·P(x,y) ·Q(u,v)

??2(x?u)??1x?0,????xy?2(y?v)?2?1?0，?u??2(x?u)??2?0， ??u?v?2?0. 解该方程组得： ???2(y?v)??2?0，???1?x2?y?0，???v21111577(x,y,u,v,?1,?2)?(,,,?,,?)，所以函数z在点

24884411115111157. (x,y,u,v)?(,,,?)取最小值：dmin?(?)2?(?)2?2488284842xn?ynx?y2?(),(n?1,x,y?0). 例. 证明不定式：22xn?ync?()2，所以问题就转化为求分析：设x?y?c，则不定式为z?u(x,y)?22c函数z?u(x,y)在条件x?y?c之下的最小值是()2.

2xn?yn解：设x?y?c，z?u(x,y)?， G?{(x,y)x,y?0,x?y?c}，设

2??nn?1??x?2y???0?1nccnn?1?? ，的稳定点??(x?yn)??(x?y?c，解方程组)P(,) ??y???0?y2222???x?y?c?0?????因为函数定义域是闭三角形ABC

0n?ync2?， 因为在边界OA和OB上的值：u(0,c)?u(c,0)?22cccncncccu(,)?()?，所以函数在P(,)取最小值()n，所以 2222222xn?yncx?yn?()2?(u(x,y)?). 222

隐函数存在Th在几何上的应用

一. 空间曲线的切线与法平面

50