第十章 多元函数微分学

§10.1 多元函数：

一、平面点集

1、定义：把全体有序实数对(x,y)组成的集合，{(x,y)|?x?R,?y?R}称为二维空间，记为R2（或R?R），（实际上这里的二维空间的概念就是解析几何中的二维空间概念）。下面我们看一看这里的二维空间有一个什么样的几何意义，显然?(a,b)?R2都唯一对应着直角坐标平面的一个点，反之然，∴R2中的有序数对与直角平面上的点是一一对应的，它们的本质是一样的，可以不加区别，所以：可以把R2看成直角坐标平面，坐标平面也可以看成是二维空间R2，以后把(a,b)叫点P的坐标，而把R2看成是平面全体点的集合.

2、平面上两点的距离（由解析几何知：）：设R2中的两点P1(x1,y1) P2(x2,y2)，

(x1?x2)2?(y1?y2)2叫P1与P2两点间的距离. 则称d?|P1?P2|?2?P1,P2,P3?R有PP12?PP13?P2P3叫三角不等式.

请同学们回忆：数轴上邻域的概念（一维空间的领域）：

a?r a a?r

· · · 3、定义2：设P(a,b)?R2，以点P(a,b)为中心，?r?0为半径的全体点(x,y)组成的集合：(x,y)|(x?a)2?(y?b)2?r叫以点P(a,b)为中心，r为半径的圆形领域记为U(P,r)：即U(P,r)?(x,y)|(x?a)2?(y?b)2?r 从几何上看：圆形领域就是平面上的一个开圆：

讨论：集合?(x,y)||x?a|?r,|y?b|?r?表示一 个什么图形？

以P(a,b)为中心，2r为边长的开矩形的全体点组成的集合?(x,y)||x?a|?r,|y?b|?r?叫以P(a,b)为中心的r半径的方形邻域.

∵圆中有方，方中有圆，∴方形领域与圆形领域是等价的.∴以后在证明题目时，可以取圆形领域，也可以取方形领域，都一样.

把圆形领域和方形领域统称为P(a,b)为心，r为半径的领域，记为U(P,r).

1

????·P

去掉邻域中心P后的集合叫去心领域，记为U(P,r). 讨论：去心领域怎样表示：

圆形去心领域，(x,y)|0?(x?a)2?(y?b)2?r 方形去心领域：?(x,y)|0?|x?a|?r,0?|y?b|?r? 当不需指出半径时，领域可简写为U(P)或U(P)

有了领域的概念后，就可以定义两个特殊的概念：开区域和闭区域。

3、定义3：设G是平面点集，P是平面上一点。 1）若?r?0，有U(P,r)?G，则称P是G的内点。

2）若?r?0，U(P,r)内既含有G中的点，同时又含有不属于G的点，则称P是G的界点，并把全体界点组成的集合叫点集的边界.

1）讨论：G的内点和界点的区别在哪里？

内点是，存在一个正数r，使以P为中心r为半径的领域U(P,r)完全包含在G中，若U(P,r)有G中的点同时也有不属于G的点P就是界点

讨论：下面P点是内点还是界点，为什么？

2）G的界点有多少个？都属于G吗？G的边界是否属于G？ （1）

3）若?r?0，领域U(P,r)内含有G的无限多个点，则称点P叫G的聚点，（讨论如上图，内点是不是聚点？界点呢？（不一定！）聚点是否一定属于G？）

4）若?l?0，使G?U(O,l)，则称G是有界点集，否则叫无界点集。 讨论：下面点集是有界点集还不是无界点集？ 1）G＝?(x,y)|x2?y2?1?

2）第一象限：G＝?(x,y)|x?0,y?0?

3）G＝?(x,y)||x?y|?1?(?G??(x,y)|?1?x?y?1?

2

oo??（2）G{P} （3）

·P

·P ·Po

4、定义：设G是平面点集：（开、闭区域统称为区域）

1）若G的任意点P都是G的内点，且G的任意两点都能用属于G的折线连接起来（称G的连通性）则称G是开区域。（如上图）

2）由开区域和它的边界构成的区域G的闭区域。

讨论：下列点集G是不是开或闭区域。并指出它的有界性和内点、聚点和界点。 1）G＝?(x,y)|1?x2?y2?2?（开区域，有界…） 2）G＝?(x,y)|1?x2?y2?2? 3）G＝?(x,y)|x2?y2?2?

4）G＝?(x,y)|??0,y?0?（闭区域，无界）

5）G＝?(x,y)|x2?y2?1,且x,y?0?（不是区域（—？没有内点；只有界点集） 6）G＝?(x,y):y?x2?（∵y?x2是区域的边是，∵y?x2表示抛物线下方全体点组成的点集，不含边界）

5、有界区域的直径：设G是有界区域，把

sup?|P1?P2|:P1,P2?G}叫有界区域的直径，记为：d(G)：

d(G)?sup?|P1?P2|:P1,P2?G}.

讨论：下列点集G的直径d（G）＝？

1）G＝?(x,y)|x2?y2?1? 2）长方形：G＝?(x,y)|a?x?b;c?y?d? 3） 是无界区域（没有直径） 4）G?R2,

.注：上面的定义及定理（概念）可以推扩到n维空间上去.

例：描绘下列点集，并指出开、闭性，有界性，聚点、界点及边界。

??x2y2z22）G＝?(x,y,z)|2?2?2?1?

abc??3）G＝?(x,y,z)|0?x,0?y,0?z且x?y?z?1? 1）G＝?(x,y)|xy|?1?

解：1）G是二维空间R2的点集，∵|xy|?1??1?xy?1，∴点集G的边界是

xy?1与xy??1（是无界闭区域）

2）G是二维空间R3的点集，边界是曲面x2/a2?y2/b2?z2/c2?1，∴G是椭球

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内部的点，不含托球面上的点，是有界开区域.

3）是R3的点集，边界是x?0,y?0,z?0三个坐标面及平面x?y?z?1，∴G是这四个面围成的四面体的全体点，是有界闭区域。

作业Ｐ152 1、5

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