此式是人造地球卫星稳定运行速度的决定公式。

人造地球卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的，由于人造地球卫星的发射过程中必须克服地球引力做功，从而增大了卫星的引力势能，故要将卫星发射到距地球越远的轨道，需要克服地球的引力做功就越多，在地面上需要的发射速度就要越大。其发射速度的具体数值由预定轨道的高度决定，在第一宇宙速度（7.9 km/s）和第二宇宙速度（11. 2 km/s）之间取值。要明确三个宇宙速度均指发射速度。而第一宇宙速度（7.9 km/s）既是卫星的最小发射速度又是卫星的最大运行速度。 人造地球卫星的三个发射速度分别是： 第一宇宙速度（环绕速度）：v=7.9千米／秒；（地球卫星的最小发射速度） 第二宇宙速度（脱离速度）：v=11.2千米／秒；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）：v=16.7千米／秒。（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度） 例8：1999年5月10日，我国成功地发射了“一箭双星”，将“风云一号”气象卫星和“实验五号”科学实验卫星送入离地面高870km的轨道。这颗卫星的运行速度为（ ） A、7.9km/s B、11.2 km/s C、7.4 km/s D、3.1 km/s 【审题】 题目中叙述的是人造地球卫星的“发射”与“运行”，考查的是人造地球卫星的“发射速度”与“运行速度”的物理意义。此题给出的四个速度中有三个具有特定的物理意义。只要明确这三个特殊速度的物理意义，此题求解也就十分容易。此题可有两种不同的解法，一是，根据题中的三个特殊速度而作出判断；二是根据题中给出的卫星高度h＝870km和其他的常量计算出此卫星的实际运行速度，即可选出正确答案。 【解析】

（方法一）判断选定法

对选项A，v＝7.9km/s的速度是地球的第一宇宙速度，是发射速度。以此速度发射的人造地球卫星会以v＝7.9km/s的速度环绕地球低轨道运行。其轨道半径近似等于地球半径，即r≈R地，不会处在h=870km的轨道上。故A选项错误。

对选项B，v=11.2km/s是地球的第二宇宙速度，是发射速度，以此速度发射的人造地球卫星会脱离地球的引力范围，飞到距地球的“无限远处”（在理论上此卫星的轨道半径r=∞，其绕地球运行速度v=0），不会稳定运行在h =870km的轨道上，故B选项错误。 对选项C，v=7.4km/s＜7.9km/s（第一宇宙速度），则肯定是卫星的运行速度。但是否以此速度运行的卫星就一定处在h=870km的轨道上？还要计算判定。然而，由于又在“D选项中”有v=3.1km/s是地球同步卫星运行速度，而同步卫星的轨道高度是36000km而不是870km。故运用排除法即可得知C选项正确。

对选项D，v=3.1km/s必然是同步卫星的运行速度，而同步卫星的轨道高度是距地球赤道地面36000km ，而不是870km。故D选项错误。 （方法二）计算选定法

GMmv2?m2(R?h)，则有(R?h)由于地球的万有引力提供了人造地球卫星的向心力，故得

GMv=R?h，代入引力常量G=6.67×10-11 Nm2/Kg2，地球质量M=5.98×1024Kg，地球半

径R=6400km和卫星的轨道高度h＝870km。可得v=7.4km/s，即此卫星的运行速度为7.4km/s。故C选项正确。

6、必须区别由万有引力、重力、向心力构成的三个等量关系式的不同

针对天体（行星，卫星）和人造地球卫星的运行问题（包括线速度、周期、高度 ），可以看作匀速圆周运动，从而运用万有引力定律。这类“天上”的物体作匀速圆周运动的向心力仅由万有引力提供。对于地面物体，其重力由万有引力产生，若忽略随地球自转的影响，则其重力等于万有引力。由于 “天上”的物体（如行星、卫星）与地面上的物体虽然遵守相同的牛顿力学定律，但也有本质的区别，通常在解决卫星问题时要特别注重以下三个等量关系：

若万有引力提供向心力，则有 GMm/r2 =ma向 若重力提供向心力， 则有 mg= ma向 若万有引力等于重力， 则有 GMm/r2 =mg

以上三式不仅表现形式有异，而且其物理意义更是各有不同，必须注意区别辨析。同时因向心加速度a向又具有多种不同的形式，如a向 =v2/r =ω2r= 4π2 r/T2 ……则可以得以下几组公式：

（1）由 GMm/r2 =ma向 得

GMm/r2 ＝ma向→a向＝GM/r2→a向∝１／r2。

GMGMm/r2 =m v2/r→v =

r→v∝１/r

GM33rGMm/r2 =mω2r→ω=→ω∝１/r

GMm/r2=m4πT 2 r/T2→T=2π

r3GM →T∝r3

对于以上各式，“中心天体”（如地球）一定，则其质量M是一定的。因此“环绕天体”（卫星）绕其做匀速圆周运动的向心加速度a向、运行速度v、运行角速度ω、运行周期T仅与距离r有关。即以上各量仅由距离r即可得出，故以上各式可称之为 “决定式”。这组决定式适应于用 “G、M、r”表示待求物理量的题目。 （2）由 mg= ma向可得 mg= ma向→a向＝g mg= m v2/r→v=

gr→v∝r

gmg= mω2r→ω=r→ω∝１/r

mg= m4π2 r/T2→ T=2π

rg→T∝r

以上各式之中，作匀速圆周运动的物体（如卫星）的运行速度v、角速度ω 、周期T由距离r和重力加速度g共同决定。其中的“g“也是一个随距离r而变化的变量，而不能认为是一个恒量。这组公式是由GMm/r2 =mg的代换关系得到的，一般适应于已知“g、r”而不知“G、M”的题目。

（3）由GMm/r2 =mg 得，对于地面上的物体可由r=Ro (Ro为地球半径)，g=go（go为地球表面的重力加速度）若忽略地球自转，则有GMm/ R2o =m go。即GM= go R2o——此即所谓的“黄金代换”，可用来作为“G、M”与“go 、Ro”之间的等量代换。----------这一关系

在解题中经常用到。 例9：（200６年五市区联考）设有两颗人造地球卫星的质量之比为m1：m2 ＝１：２，其运行轨道半径之比为Ｒ１：Ｒ２ ＝３：１，试求此两颗卫星运行的： ①线速度之比，②角速度之比，③周期之比，④向心加速度之比。

【审题】根据此题要求求解的四个“比”值，其给定的已知条件中的“m1：m2 ＝１：２”是无用的“干扰项”，只须运用已知条件“Ｒ１：Ｒ２ ＝３：１”即可求解，但是必须注意所用公式。因为只是已知两颗卫星的轨道半径的比例关系，故而求解时也只能选用上面（1）中的“决定式”，而不能选用（2）中的公式。

【解析】人造地球卫星在轨道上运行时，所需要的向心力等于地球的万有引力，由Ｆ引＝Ｆ向可得，

GM① GMm/r2 =m v2/r，则v =

r所以，

V1?V2R2?1/3R1。

如果此处运用了v=

gr，而认为v∝r，则可得到

V1?V2R2R1＝

31，显然这是错误

的。因为对于这两颗卫星而言其公式v=

gr中的“g”是不同的。

3R2R13?1GM?3?② 因为GMm/r2 =mω2r，有ω=r，故，2?1g??ω=r而认为ω∝１/r，则可得，2掉了式中“g” 的不同。

1＝

27；如果此处运用公式

R2R11＝

3，显然也是错误的。其原因仍是忘

③ 因为GMm/r2 =m4π2 r/T2 ，则，T=2π

T13327r33R231GM，故有T2＝＝＝1。

R13如果此处运用了T=2π

R13T1r?1g而认为T∝r，则得T2＝R2，显然也是错误的。其

原因仍是忘掉了式中“g” 的不同。

④ GMm/r2＝ma向，则a向＝GM/r2 故有，

2a1R212??a2R1232＝１／９。如果此处运用了a向＝g

a1g??1ag而认为a向轨道半径无关，则得2，必然错

图４－７

误，其原因仍是忘掉了式中“g”的不同。

7、必须区别赤道轨道卫星、极地轨道卫星与一般轨道卫星的不同

人造地球卫星从轨道取向上一般分为三类：赤道轨道、极地轨道和一般轨道。 所谓赤道轨道卫星，是指这种卫星的轨道处在地球赤道的平面之内，卫星距赤道地面具有特

r可求得。而在实际当中只有处在36000km高空的定的高度，其运行速度由公式 v =

赤道轨道上，且只有与地球自转方向相同的卫星才能与地球相对静止，称之为“同步卫星”，如图4-7所示。如果其转向与地球自转反向，则就不能称之为“同步卫星”了。另外，发射地球同步卫星时，为了节省能量，其发射地点应尽量靠近赤道，以借助地球的自转线速度。地球同步卫星具有“轨道不偏不倚”、“高度不高不低”、 “速度不快不慢”的六不特性。如图4-7所示 。

所谓极地轨道卫星,是指卫星的轨道平面始终与太阳保持相对固定的取向.其轨道平面与地球赤道平面的夹角接近90度。

卫星可在极地附近通过,故又称为近极地太阳同步卫星。如图4-7所示.这种卫星由于与地球之间有相对运动,可以观测,拍摄地球上任一部位的空中,地面的资料。1999年5月10日我国”一箭双星”发射的”风云一号”与”风云二号”气象卫星中的”风云一号”就是这种极地轨道卫星。

所谓一般轨道卫星是指轨道平面不与某一经线平面重合(赤道平面除外)的人造地球卫星。

以上三种轨道卫星共同特点是轨道中心必须与地心重合,是以地心为圆心的”同心圆”.，没有与地球经线圈共面的轨道(赤道平面除外)。

例10： (2000年全国春季高考)可以发射一颗这样的人造地球卫星,使其圆轨道( ) A 与地球表面上某一纬度线(赤道除外)是共面的同心圆 B 与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面的

C 与地球表面上的赤道线是共面同心圆,而且相对地球表面是静止的 D与地球表面上的赤道线是共面同心圆, 但卫星相对地球表面是运动的

【审题】此题重在判断人造地球卫星的轨道取向与地球的经度线平面,纬度线平面,赤道平面的关系.在辨析,判断时必须明确以下几点：

1 作匀速圆周运动的卫星必定是无动力飞行,其轨道中心必然在地球中心。 2 人造地球卫星的轨道有三种:赤道轨道,极地轨道,一般轨道。 3 地球同步卫星的运行轨道与位置高度等方面的特点。 只要依据以上几方面的特点即可辨析选择出正确答案。 【解析】

对A选项，人造地球卫星运行时,是地球对它的万有引力提供向心力,而此向心力的方向必定指向地心,即所有无动力飞行的卫星轨道的圆心一定与地球中心重合,不能是地轴上(除地心之外)的某一点。故A项错误.

对B项，由于地球绕地轴在自转,所以卫星的轨道平面不可能与经度线所决定的平面共面.故B项是错误的。

对C项，相对地球表面静止的卫星就是”同步卫星”,它必须处在赤道圈平面,且距离赤道地面有确定的高度,高度H=36000千米,其运行速度必须是V=3.1km/s.运行周期与地球自转周期相同.故C项正确。

对D选项，如果卫星所在的高度低于或高于h=36000km时,便不再是地球同步卫星。虽然还可以使轨道处于地球赤道平面之内,但由于运转的周期与地球自转的周期不会相同,也就会相对地面运动.这种卫星就是地球赤道轨道卫星,但不是地球同步卫星,故D项正确。

GM