一结论适用于地球与月球系统，也适用于其它‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统。

3、必须区别地面物体的万有引力与重力以及向心力的不同

（1）地球对地面物体的万有引力：地面上的物体所受地球引力的大小均由万有引力定律的

G公式F=

m1m2r2决定，其方向总是指向地心。

（2）地面物体所受的重力：

处在地面上的物体所受的重力是因地球的吸引而产生的，其大小为mg，方向竖直向下（绝不可以说为“垂直向下”和“指向地心”）。

地面上同一物体在地球上不同纬度处的的重力是不同的。在地球的两极上最大，在地球赤道上最小，随着位置从赤道到两极的移动而逐渐增大-----这种现象不是‘超重’，应该与‘超重’现象严格区别开来。

以地球赤道上的物体为例，如图4-4所示，质量为m的物体受到的引力为F=GMm/R2 ，因此物体与地球一起转动，即以地心为圆心，以地球半径为半径做匀速圆周运动，角速度即与地球的自转角速度相同，所需要的向心力为 F向=mωR2 =mR4π2/T2.因地球自转周期较大，F向必然很小，通常可忽略，故物体在地球两极M或N上时其重力等于受到的万有引力。

一般说来，同一物体的重力随所在纬度的变化而发生的变化很小，

G有时可以近似认为重力等于万有引力，即mg=

m1m2r2。

m1m2r2，而物体在距星体表面高度为h处

G在任何星体表面上的物体所受的重力均是mg=

的重力为mg’=Gm1m2/(r+h)2

（3）地面物体随地球自转所需的向心力：

由于地球的自转，处于地球上的物体均随地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，大小是F向=mω2r=mr4π2/T2(ω是地球自转角速度，r是物体与地轴间的距离，T是地球的自转周期)，其方向是垂直并指向地轴。对于同一物体，这一向心力在赤道时最大，F大=mω2R（R是地球半径）；在两极时最小，F小=0。

因地球自转，地球赤道上的物体也会随着一起绕地轴做圆周运动，这时物体受地球对物体的万有引力和地面的支持力作用，物体做圆周运动的图4-5 向心力是由这两个力的合力提供，受力分析如图4-5所示．

实际上，物体受到的万有引力产生了两个效果，一个效果是维持物体做

圆周运动，另一个效果是对地面产生了压力的作用，所以可以将万有引力分解为两个分力：一个分力就是物体做圆周运动的向心力，另一个分力就是重力，如图4-5所示．这个重力与地面对物体的支持力是一对平衡力．在赤道上时这些力在一条直线上．

当在赤道上的物体随地球自转做圆周运动时，由万有引力定律和牛顿第二定 律可得其动力

Mm4?22G2?N?mR??ma向?mR2RT，式中R、M、?、T分别为地球的半径、学关系为

质量、自转角速度以及自转周期。

当赤道上的物体“飘”起来时,必须有地面对物体的支持力等于零，即N=0，这时物体做圆周运动的向心力完全由地球对物体的万有引力提供.由此可得赤道上的物体“飘”起来的条件是：由地球对物体的万有引力提供向心力。以上的分析对其它的自转天体也是同样适用的。 （4）万有引力、重力、向心力三者间的关系：

地面物体随地球自转所需向心力F向=mω2r=mr4π2/T由万有引力F引=GMm/R2提供，F向是F引的一个分力，引力F引的另一个分力才是物体的重力mg，引力F引是向心力F向和重力mg的合力，三者符合力的平行四边形定则，大小关系是F引≥mg>F向。 例4：已知地球半径R=6.37×106m.地球质量M=5.98×1024Kg,万有引力常量G=6．67×10-11 Nm2/Kg2.试求挂在赤道附近处弹簧秤下的质量m=1Kg的物体对弹簧秤的拉力多大？

【审题】对物体受力分析如图4-6所示，弹簧秤对物体竖直向上的拉力和地球对物体竖直向下的万有引力的合力提供了物体随地球自转而做匀速圆周运动的向心力。 【解析】在赤道附近处的质量m=1Kg的物体所受地球的万有引力为 F=GMm/R2=6.67×10-11×5.98×1024×1/ (6.37×106)2 N=9.830N 此物体在赤道所需向心力为 F向=mω2R=mR4π2/T2=

2X3.141×（24X60X60）2×6.37×106 N=0.0337 N。

图4-6 此物体在赤道所受到的弹簧秤拉力为F拉=F-F向=（9.830-0.0337）N

=9.796N。

由牛顿第三定律可知，物体对弹簧秤的拉力为F拉=9.796N。亦即物体所受到的重力也是9.796N。

例5：地球赤道上的物体重力加速度为g,物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a,要使赤道上的物体“飘”起来,则地球转动的角速度应为原来的( ) 倍

ag?ag?aa C.a D. A.g B.ga

【审题】依据牛顿第二定律和万有引力定律，以赤道上的物体“飘”起来的动力学本质为‘切入口,’即可求出地球转动的角速度。

【解析】设地球原来自转的角速度为?1，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力, N表示

?1?ma ① 地面对物体的支持力，由牛顿第二定律得F?N?mR由于物体受到的支持力与物体的重力是一对平衡力,所以有N?G?mg ② 当赤道上的物体“飘”起来时,只有万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为?2，

2?2 ③ 有F?mR?2??联立①、②、③三式可得1

2g?aa，所以正确答案为B选项。

例6：假设火星和地球都是球体，火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p，火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，那么离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比等于多少？ 【审题】解题时要明确以下二点：

一、因为已知火星的质量Ｍ火和地球质量Ｍ地之比Ｍ火／Ｍ地=p以及火星的半径Ｒ火和地球半径Ｒ地之比Ｒ火／Ｒ地=q，故可以运用比例法进行求解。

二、所求的是离火星表面Ｒ火高处的重力加速度和离地球表面Ｒ地高处的重力加速度之比，而不是火星表面与地球表面的重力加速度之比。

【解析】 物体的重力来自万有引力，所以离火星表面Ｒ火高处：m

2?GM火/4R火g火?g火=GＭ火·m/(２Ｒ火)2

=

2??GM地/4R地gg地地。离地对表面Ｒ地高处：m=GＭ地·m/(２Ｒ地)2，=

22?g地g火/R火?M火/M地R地∴/=·＝P/q2

4、必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同

对于天体质量的测量，常常是运用万有引力定律并通过观测天体的运行周期T和轨道半径r（必须明确天体的运行周期T和轨道半径r是研究卫星问题中的两个关键物理量），把天体或卫星的椭圆轨道运动近似视为匀速圆周运动，然后求解。但是必须区别天体系统中‘中心天体’与‘环绕天体’的不同。

所谓‘中心天体’是指位于圆周轨道中心的天体，一般是质量相对较大的天体；如，恒星、行星等等。所谓‘环绕天体’是指绕着‘中心天体’做圆周运动的天体或者卫星以及人造卫星，一般是质量相对较小的天体或卫星。此种方法只能用来测定‘中心天体’的质量，而无法用来测定‘环绕天体’的质量。这是解题时必须注意的。

（1）根据天体表面上物体的重力近似等于物体所受的万有引力，由天体表面上的重力加速度和天体的半径求天体的质量，其公式推证过程是：

MmR2gM?2G.（式中M、g、R分别表示天体的质量、天体表面的重力加速R由mg=G 得

度和天体的半径．）

（2）根据绕中心天体运动的卫星的运行周期和轨道半径，求中心天体的质量

卫星绕中心天体运动的向心力由中心天体对卫星的万有引力提供，利用牛顿第二定律得

Mmv24?22G2?m?mr??mr2rrT

若已知卫星的轨道半径r和卫星的运行周期T、角速度?或线速度v，可求得中心天体的质

rv24?2r3?2r3M???2GG GT量为

例7：已知引力常量G和以下各组数据，能够计算出地球质量的是：

地球绕太阳运行的周期和地球与太阳间的距离 月球绕地球运行的周期和月球与地球间的距离 人造地球卫星在地面附近处绕行的速度与周期

若不考虑地球的自转，已知地球的半径与地面的重力加速度

【审题】此题中的目的是求解‘地球’的质量，其关键在于题中所给四个情景中“地球”是

否是一个‘中心天体’．若地球是一个‘中心天体’，则可在题中所给的四个情景中找到以地球为‘中心天体’、以‘月球’或‘卫星’为运‘环绕天体’的系统，再运用万有引力定律和匀速圆周运动的规律联合求解。此外，还要注意到每一个选项中给定的两个物理量能否用得上，只有做好这样的分析判断之后，解题才能事半功倍。解此题关键是要把式中各字母的含义弄清楚，要区分天体半径和天体圆周运动的轨道半径．

【解析】 对A选项。此选项之中“地球绕太阳运转”，给定的条件是”地球绕太阳的运转周期”和”地球与太阳之间的距离”。显然此处的”中心天体”是太阳而非地球，地球是一个”环绕天体”， 而已知的是地球绕太阳运行的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，因此无法计算出地球的质量。故A选项错误.

对B选项。在此选项中，月球绕地球运转，月球是“环绕天体”，而地球是“中心天体”，且已知月球绕地球的运转周期T和月球与地球之间的距离r，由万有引力定律与匀速圆周运

GMm4?24?2r3?m2r22rT动的规律可得，故有地球质量为M=GT ，显然，式中的各量均为已

知量，即地球质量由此式可计算出来。故B选项正确。

对C选项。在此项中人造地球卫星是“环绕天体“，而地球则是中心天体，又已知人造地球卫星的运行速度v和运动周期T，由万有引力定律与匀速圆周运动规律可得

GMmmv2GMm4?2??m222R?h和(R?h)(R?h)T，又因为此人造地球卫星是”近地“卫星，则h<

GMmmv2?2R-----① 和可视为h≈0，必有R+h≈R，则以上两式可分别化为RGmm4?2?2R2RT-----②，

2?r4?R32又由于v=T，代入①式（当然也可以代入②式）可得，地球的质量为M=GT。显然

此式中的量均为已知。即可由此式计算出地球质量。故C选项正确。

对D选项。可以运用虚拟物体法计算地球的质量。假设有一个在地面上静止的物体，对其

GMmgR2?mg2R运用万有引力定律可得：，则M=G。其中的g为地面上的重力加速度，R

为地球半径，均为已知，可以由此计算出地球质量。故D选项正确。

5、必须区别卫星的运行速度与发射速度的不同

GMGMmv2?m2r，这个速度指的是人造地球卫星在轨r可得v=对于人造地球卫星，由r道上稳定运行的速度。其大小仅随轨道半径r的增大而减小，与卫星的质量、形状等因素无

GM

r，关。只要卫星能运行在半径为r`的轨道上，其运行的速度就必须是而且也只能是 v=