卫星问题分析

二、难点突破策略：

（一）明确卫星的概念与适用的规律： 1、卫星的概念：

由人类制作并发射到太空中、能环绕地球在空间轨道上运行（至少一圈）、用于科研应用的无人或载人航天器，简称人造卫星。高中物理的学习过程中要将其抽象为一个能环绕地球做圆周运动的物体。 2、适用的规律：

牛顿运动定律、万有引力定律、开普勒天体运动定律、能量守恒定律以及圆周运动、曲线运动的规律、电磁感应规律。。。。。均适应于卫星问题。但必须注意到“天上”运行的卫星与“地上”运动物体的受力情况的根本区别。 （二）认清卫星的分类： 高中物理的学习过程中，无须知道各种卫星及其轨道形状的具体分类，只要认清地球同步卫星（与地球相对静止）与一般卫星（绕地球运转）的特点与区别即可。 （1）、地球同步卫星： ①、同步卫星的概念：所谓地球同步卫星，是指相对于地球静止、处在特定高度的轨道上、具有特定速度且与地球具有相同周期、相同角速度的卫星的一种。 ②、同步卫星的特性：

不快不慢------具有特定的运行线速度（V=3100m/s）、特定的角速度（ω=7.26x10-5 ra d/s ）和特定的周期（T=24小时）。

不高不低------具有特定的位置高度和轨道半径，高度H=3.58 x107m, 轨道半径r=4.22 x107m. 不偏不倚------同步卫星的运行轨道平面必须处于地球赤道平面上，轨道中心与地心重合，只能‘静止’在赤道上方的特定的点上。 证明如下：

如图4-1所示，假设卫星在轨道A上跟着地球的自转同步地匀速圆周运动，卫星运动的向心力来自地球对它的引力Ｆ引，Ｆ引中除用来作向心力的Ｆ1外，还有另一分力Ｆ2，由于Ｆ2的作用将使卫星运行轨道靠向赤道，只有赤道上空，同步卫星才可能在稳定的轨道

图4-1 上运行。

MmG?2?m?2RR?3GM?2 R由 得∴h=R-R地 是一个定值。(h是同步卫星距离地面的高度)

因此，同步卫星一定具有特定的位置高度和轨道半径。 ③、同步卫星的科学应用：

同步卫星一般应用于通讯与气象预报，高中物理中出现的通讯卫星与气象卫星一般是指同步卫星。 （2）、一般卫星： ①、定义：

一般卫星指的是，能围绕地球做圆周运动，其轨道半径、轨道平面、运行速度、运行周期各不相同的一些卫星。 ②、、卫星绕行速度与半径的关系： 由

GMmv2?mrr2 得：

v?GMr即

v?1r (r越大v越小)

③、、卫星绕行角速度与半径的关系： 由

GMm?m?2r??2r得：

GMr3即

??1r3；（r越大ω越小）

④、、卫星绕行周期与半径的关系：

Mm?2??G?mr??2r?T?由

2得：

T?4?2r3GM即T?r3（r越大Ｔ越大），

（3）双星问题

两颗靠得很近的、质量可以相比的、相互绕着两者连线上某点做匀速圆周运的星体，叫做双星．双星中两颗子星相互绕着旋转可看作匀速圆周运动，其向心力由两恒星间的万有引力提供．由于引力的作用是相互的，所以两子星做圆周运动的向心力大小是相等的，因两子星绕着连线上的一点做圆周运动，所以它们的运动周期是相等的，角速度也是相等的，线速度与两子星的轨道半径成正比．

（三）运用力学规律研究卫星问题的思维基础： ①光年，是长度单位，1光年= 9.46×1012千米

??②认为星球质量分布均匀，密度

M4V??R32V，球体体积3，表面积S?4?R

③地球公转周期是一年（约365天，折合 8760 小时），自转周期是一天（约24小时）。

④月球绕地球运行周期是一个月（约28天，折合672小时；实际是27.3天） ⑤围绕地球运行飞船内的物体，受重力，但处于完全失重状态。

⑥发射卫星时，火箭要克服地球引力做功。由于地球周围存在稀薄的大气，卫星在运行过程中要受到空气阻力，动能要变小，速率要变小，轨道要降低，即半径变小。 同步轨⑦视天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，

Mmv24?22?mg?G2?ma?mr??mr2?m?v向?mrrT即 地球 A B 应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。 ⑧天体质量Ｍ、密度ρ的估算：

测出卫星围绕天体作匀速圆周运动的半径r和周期Ｔ， 图4-2

Mm?2??4?2r3M3?r3G2?m??r???M?rV?T?得：GT2R3（当卫星绕GT2，由

2天体表面运动时，ρ=3π/GT2）

⑨发射同步通讯卫星一般都要采用变轨道发射的方法：点火，卫星进入停泊轨道（圆形轨道，高度200—300km），当卫星穿过赤道平面时，点火，卫星进入转移轨道（椭圆轨道），当卫星达到远地点时，点火，进入静止轨道（同步轨道）。如图4-2所示。 ⑩明确三个宇宙速度： 第一宇宙速度（环绕速度）：v=7.9千米／秒；（地球卫星的最小发射速度） 第二宇宙速度（脱离速度）：v=11.2千米／秒；（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）：v=16.7千米／秒。（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度） 人造卫星在圆轨道上的运行速度是随着高度的增大而减小的，但是发射高度大的卫星克服地球的引力做功多，所以将卫星发射到离地球远的轨道，在地面上的发射速度就越大。 三、运用力学规律研究卫星问题的基本要点

1、必须区别开普勒行星运动定律与万有引力定律的不同 开普勒行星运动定律 开普勒第一定律：所有行星围绕太阳运动的轨道均是椭圆，太阳处在这些椭圆轨道的一

个公共焦点上。

开普勒第二定律（面积定律）：太阳和运动着的行星之间的联线，在相等的时间内扫过的面积总相等。

开普勒第三定律（周期定律）：各个行星绕太阳公转周期的平方和它们的椭圆轨道的半长轴的立方成正比。若用r表示椭圆轨道的半长轴，用T表示行星的公转周期，则有k=r3/T2是一个与行星无关的常量。

开普勒总结了第谷对天体精确观测的记录，经过辛勤地整理和计算，归纳出行星绕太阳运行的三条基本规律。开普勒定律只涉及运动学、几何学方面的内容。开普勒定律为万有引力定律的提出奠定了理论基础，此三定律也是星球之间万有引力作用的必然结果。 （２）万有引力定律 万有引力定律的内容是：

宇宙间一切物体都是相互吸引的，两个物体间的引力大小，跟它们的质量的乘积成正比，跟它们间的距离的平方成反比。 万有引力定律的公式是：

GF=

m1m2r2， （Ｇ=6.67×１０－11牛顿·米2／千克2，叫作万有引力恒量）。

万有引力定律的适用条件是：

严格来说公式只适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远远大于物体本身大小时公式也近似适用，但此时它们间距离r应为两物体质心间距离。 （3）开普勒行星运动定律与万有引力定律的关系： 万有引力定律是牛顿根据行星绕太阳（或恒星）运动的宇宙现象推知行星所需要的向心力必然是由太阳对行星的万有引力提供，进而运用开普勒行星运动定律推导发现了万有引力定律. 开普勒行星运动定律是万有引力定律的理论基础。

开普勒行星运动定律从轨道形状、运动速度、转动周期、轨道半径等方面描述、揭示了行星绕太阳（或恒星）运动的宇宙现象，表明了天体运动运动学特征和规律。万有引力定律是从行星转动所需要的向心力来源与本质上揭示了行星与太阳（或恒星）以及宇宙万物间的引力关系，描述的是行星运动的动力学特征与规律。

例1：世界上第一颗人造地球卫星环绕地球运行轨道的长轴比第二颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴短8000km, 第一颗人造地球卫星环绕地球运转的周期是96.2min,求第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴和第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期（已知地球质量Ｍ＝５.９８X1024kg）. 【审题】本题中第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴与第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期均是待求量，仅由开普勒行星运动定律难以求解。因此可以假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由万有引力提供向心力的关系求出引卫星的R3/T2，又由开普勒第三定律知，所有绕地球运行的卫星的r3/T2值均相等，只要把假想卫星的R3/T2题中的二卫星的r3/T2值相比较即可求得结论。

【解析】假想有一颗近地卫星环绕地球运行，由于万有引力提供向心力，则 GMm/R2=m4π2 R /T2 解之得 K= R3/T2=GM/4π2，

再设第一颗人造地球卫星环绕地球轨道的长轴为a, 第二颗人造地球卫星环绕地球运转的周期为T，由开普勒第三定律得 K =（a/2）3/T12 =（a/2+4000）3/T22 由以上二式得，a=1.47×107m. T2=96.3 min.

例2：如图4-3所示，在均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心边线上、与球心相距d的质点m的引力是多大？

【解析】 把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即

可求解完整的均质球体对球外质点m的引力

此引力可以看成是挖去球穴后的剩余部分对质点的引力F1与半径为R/2的小球对近质点的

4R31?()???M28；则引力F2之和，即F=F1+F2。因为半径为R/2的小球质量M′=3F2?G为:

MmMm?G(d?R/2)28(d?R/2)2，所以挖去球穴后的剩余部分对球外质点m的引力

2、必须区别开普勒第三行星定律中的常量K与万有引力定律中常量G的不同 （1）开普勒第三定律中的常量K：

开普勒第三定律中的常量K= r3/T2，对于行星与太阳的天体系统而言，常量K仅与太阳的质量有关而与行星的质量无关。此规律对于其它的由‘中心天体’与‘环绕天体’组成的天体系统同样适用。常量K仅由‘中心天体’的质量决定而与‘环绕天体’的质量无关。‘中心天体’相同的天体系统中的常量K相同，‘中心天体’不同的天体系统的常量K也不同。“K= r3/T2=常量”的伟大意义在于启发牛顿总结、发现了万有引力定律。 （2）万有引力定律中的常量G：

G 万有引力定律中的常量G是由万有引力定律F=

m1m2r2变形求出的，G=F r2/m1m2，数

值是G=6。67×10-11Nm2/Kg2.是卡文迪许扭秤实验测出的，适用于宇宙间的所有物体。万有引力定律中的常量G的测定不仅证明了万有引力的存在，更体现了万有引力定律在天文研究中的巨大价值。

（3）常量K与常量G的关系：

常量K与常量G有如下关系，K= GM/4π2，或者G=4π2/GM。K的值由‘中心天体’的质量而定，而常量G则是一个与任何因素无关的普适常量。

例3：行星绕太阳运转的轨道是椭圆，这些椭圆在一般情况下可以近似视为圆周轨道，试用万有引力定律和向心力公式证明对所有绕太阳运转的行星，绕太阳公转轨道半径的立方与运转周期的平方的比值为常量。论述此常量的决定因素有哪些?此结论是否也适用于地球与月球的系统？

【审题】 本题中行星绕太阳运转的轨道近似视为圆周轨道时，只要运用万有引力定律和向心力公式即可证明得出结论。

【解析】 因为行星绕太阳运转需要的向心力是由太阳的万有引力提供，设太阳质量为M，行星的质量为m，行星绕太阳运转轨道的半径为r，运行周期为T，则， GMm/r2=m4π2r/T2,故，r3/T2=GM/4π2，即，K= GM/4π2。

显然，由于太阳质量一定，K的数值仅由太阳质量M决定，与其它因素无关。这

图4-4