从而cos2B=(2sin B)2
,
即cos2B=4(1-cos2B),故cos2B=45. 因为sin B>0,所以cos B=2sin B>0, 从而cos B=2√5.因此sin(B+π√552)=cos B=25. 5.(2018·全国1·理T17)在平面四边形ABCD中,∠ADC=90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求cos∠ADB; (2)若DC=2√2 ,求BC.
【解析】(1)在△ABD中,由正弦定理得BDAB
sin∠A=sin∠ADB.
由题设知,
5sin45sin∠ADB=°
=
2
√2sin∠ADB,所以
5.
由题设知,∠ADB<90°,所以cos∠ADB=√1-2=√23255. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC=sin∠ADB=√25. 在△BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2·BD·DC·cos∠BDC=25+8-2×5×2√2×√25
=25.
所以BC=5.
6.(2018·北京·理T15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-17. (1)求∠A;
(2)求AC边上的高.
【解析】(1)在△ABC中,∵cos B=-1,∴B∈(π
72,π), ∴sin B=√1-cos2B=
4√37. 由正弦定理,得a
=b
7
8sinAsinB?sinA=
4√3, 7∴sin A=√32.
∵B∈(πππ
2,π),∴A∈(0,2),∴A=3. (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=√3×(-114√33√327)+2×7=14. 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=hBC,∴h=BC·sin C=7×3√314
=3√32
,
25
∴AC边上的高为
3√3. 2
7.(2018·天津·理T15文T16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bsin A=acos (B-6). (1)求角B的大小;
(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值. 【解析】(1)在△ABC中,由正弦定理
π
asinA
π
=
b
,可得sinBπ
bsin A=asin B.
又由bsin A=acos(B-6),得asin B=acos(B-6),
即sin B=cos(B-6),可得tan B=√3.又因为B∈(0,π),所以B=3.
(2)在△ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accos B=7,故b=√7. 由bsin A=acos(B-6),可得sin A=.因为a √7ππ π π√32√714√32 ,cos 2A=2cosA-1=. 77所以,sin(2A-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B=4√3×1?1×√3=3√3. 7 2 7 2 14 8.(2017·天津·理T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a>b,a=5,c=6,sin B=. (1)求b和sin A的值; (2)求sin(2A+4)的值. 【解析】(1)在△ABC中,因为a>b, 故由sin B=,可得cos B=. 由已知及余弦定理,有b=a+c-2accos B=13, 所以b=√13.由正弦定理 a sinAasinB3√13. =sinB,得sin A== b13b 2 2 2 3 5π 3545所以,b的值为√13,sin A的值为3√13. 13(2)由(1)及a 26 513π π 12139.(2017·天津·文T15)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asin A=4bsin 26 B,ac=√5(a2 -b2 -c2 ). (1)求cos A的值; (2)求sin(2B-A)的值. 【解析】(1)由asin A=4bsin B,及 ab sinA = sinB ,得a=2b. 由ac=√5(a2-b2-c2),及余弦定理,得cos A=b2 +c2√5-a2=-5ac=-√52bcac5 . (2)由(1),可得sin A=2√55, 代入asin A=4bsin B,得sin B=asinA=√54b5. 由(1)知,A为钝角, 所以cos B=√1-sin2B=2√55. 于是sin 2B=2sin Bcos B=45, cos 2B=1-2sin2B=35, 故sin(2B-A)=sin 2Bcos A-cos 2Bsin A=4×(-√5)?3×2√5=-2√555555 . 10.(2017·全国1·理T 17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为a2 3sinA. (1)求sin Bsin C; (2)若6cos Bcos C=1,a=3,求△ABC的周长. 【解析】(1)由题设得1acsin B=a2 3sinA,即1a22csin B=3sinA. 由正弦定理得1 sin Csin B=sinA 23sinA . 故sin Bsin C=23 . (2)由题设及(1)得cos Bcos C-sin Bsin C=-1,即cos(B+C)=-1.所以B+C=2π,故A=π 2233. 由题设得1 2bcsin A=a23sinA,即bc=8. 由余弦定理得b2 +c2 -bc=9,即(b+c)2 -3bc=9,得b+c=√33. 故△ABC的周长为3+√33. 11.(2017·全国2·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2B2. (1)求cos B; (2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b. 27 【解析】(1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin, 22B 故sin B=4(1-cos B). 上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0, 解得cos B=1(舍去),cos B=. (2)由cos B=得sin B=, 故S△ABC=acsin B=ac. 又S△ABC=2,则ac=. 由余弦定理及a+c=6得 b=a+c-2accos B =(a+c)2-2ac(1+cos B) =36-2× 1715 ×(1+)=4. 217 2 2 2 15 17151781712417 172所以b=2. 12.(2017·全国3·理T17)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin A+√3cos A=0,a=2√7,b=2. (1)求c; (2)设D为BC边上一点,且AD⊥AC,求△ABD的面积. 【解析】(1)由已知可得tan A=-√3,所以A=. 在△ABC中,由余弦定理得28=4+c-4ccos, 即c+2c-24=0.解得c=-6(舍去),c=4. (2)由题设可得∠CAD=2, π 所以∠BAD=∠BAC-∠CAD=6.故△ABD 12π 2 2 2π32π3 面积与△ACD 1π2AB·AD·sin6面积的比值为1=1. ACAD2· 又△ABC的面积为×4×2sin∠BAC=2√3,所以△ABD的面积为√3. 13.(2017·北京·理T15)在△ABC中,∠A=60°,c=a. (1)求sin C的值; (2)若a=7,求△ABC的面积. 【解析】(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a, 3 73728