∴k=，

∴直线的解析式是：y=x+3， ②P′（﹣1，m），

∴点P的坐标是（1，m）， ∵点P在直线AB上， ∴m=×1+3=；

（2）∵PP′∥AC， △PP′D∽△ACD， ∴

=

，即

=，

∴a=；

（3）以下分三种情况讨论． ①当点P在第一象限时，

1）若∠AP′C=90°，P′A=P′C（如图1） 过点P′作P′H⊥x轴于点H． ∴PP′=CH=AH=P′H=AC． ∴2a=（a+4） ∴a=

∵P′H=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴==，即=， ∴b=2

2）若∠P′AC=90°，（如图2），则四边形P′ACP是矩形，则PP′=AC． 若△P′CA为等腰直角三角形，则：P′A=CA， ∴2a=a+4 ∴a=4

∵P′A=PC=AC，△ACP∽△AOB

∴==1，即=1 ∴b=4

3）若∠P′CA=90°，

则点P′，P都在第一象限内，这与条件矛盾．

∴△P′CA不可能是以C为直角顶点的等腰直角三角形．

②当点P在第二象限时，∠P′CA为钝角（如图3），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形；

③当P在第三象限时，∠P′AC为钝角（如图4），此时△P′CA不可能是等腰直角三角形．

所有满足条件的a，b的值为：

，

．

【点评】本题主要考查了梯形的性质，相似三角形的判定和性质以及一次函数的综合应用，要注意的是（3）中，要根据P点的不同位置进行分类求解．

8.（2018·天津五区县·一模）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为D，且AC平分∠DAB． （1）求证：DC为⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，AD=4，求AC的长．

【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质．

【分析】（1）连接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分线的性质可以证明∠DAC=∠OCA，接着利用平行线的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可证明直线CD与⊙O相切于C点；

（2）连接BC，根据圆周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：连接OC ∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB ∴∠DAC=∠OAC ∴∠DAC=∠OCA ∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直线CD与⊙O相切于点C；

（2）解：连接BC，则∠ACB=90°． ∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴，

2

∴AC=AD?AB，

∵⊙O的半径为3，AD=4， ∴AB=6， ∴AC=2

．

【点评】此题主要考查了切线的性质与判定，解题时 首先利用切线的判定证明切线，然后利用切线的想这已知条件证明三角形相似即可解决问题．

9. (2018·重庆巴蜀 ·一模）如图1，正方形ABCD中，点E为AD上任意一点，连接BE，以BE为边向BE右侧作正方形BEFG，EF交CD于点M，连接BM，N为BM的中点，连接GN，FN．

（1）若AB=4，AE：DE=3：1，求EM的长； （2）求证：GN=FN；

（3）如图2，移动点E，使得FN⊥CD于点Q时，请探究CM与DE的数量关系并说明理由．

【分析】（1）根据题意分别求出AE、DE，证明△ABE∽△DEM，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可；

（2）连接EN，根据直角三角形的性质得到EN=BM，证明△NBG≌△NEF即可；

（3）延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H，证明△ABE≌△HEF，得到AE=HF，根

据矩形的性质得到DR=FH，等量代换即可． 【解答】解：（1）∵AB=4，AE：DE=3：1， ∴AE=3，DE=1， ∴BE=

=5，

∵∠BEF=90°，∠BEF=90°，∠BEF=90°， ∴△ABE∽△DEM， ∴

=

，即=

，

解得，EM=； （2）连接EN，

∵∠BEF=90°，N为BM的中点， ∴EN=BM=BN=NM， ∴∠NBE=∠NEB， ∴∠NBG=∠NEF， 在△NBG和△NEF中，

，

∴△NBG≌△NEF， ∴GN=FN；

（3）如图2，延长ED，过点F作FH⊥ED，交ED的延长线于H， ∵∠BCD=90°，N为BM的中点， ∴CN=BM=BN=NM， ∵FN⊥CD，

∴CR=MR=CM， ∵∠A=∠H=90°， ∴∠ABE+∠AEB=90°， ∵∠BEF=90°，

∴∠AEB+∠FEH=90°， ∴∠ABE=∠FEH， 在△ABE和△HEF中，

，

∴△ABE≌△HEF， ∴AE=HF，

∵∠H=∠RDH=∠DRF=90°，