∴=m=，

∴=1：m=，

EP与EQ满足的数量关系式1：m，即EQ=mEP， ∴0＜m≤2+

，（因为当m＞2+

时，EF和BC变成不相交）．

【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理的能力，证明过程类似．

22. （2018·黑龙江大庆·一模）如图，A、B两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，A、B两个单位到街道的距离AC=48米、BD=24米，A、B两个单位的水平距离CE=96米，现准备修建一座与街道垂直的过街天桥．

（1）天桥建在何处才能使由A到B的路线最短？ （2）天桥建在何处才能使A、B到天桥的距离相等？

分别在图1、图2中作图说明（不必说明理由）并通过计算确定天桥的具体位置．

AAC天桥EC天桥DBEDB

图1 图2 答案：解：（1）如答图1，平移B点至B’使BB’=DE，连接AB’交CE于F，在此处建桥可

使由A到B的路线最短；此时易知AB’∥BG，∴△ACF∽△BDG，GD=96-x，∴

ACBD，设CF=x，则?CFDG4824，解得x=64，即CF=64米，∴将天桥建在距离C点64米处，可?x96?x使由A到B的路线最短；3分

ACFEB'DBG

（2）如答图1，平移B点至B’使BB’=DE，连接AB’交CE于F，作线段AB’的中垂线交CE于P，在此处建桥可使A、B到天桥的距离相等；此时易知AB’∥BG，另OP为AB’中垂

PFOF，设CP=x，则PF=CF-x，由（1）得CF=64，∴PF=64-x；?AFCF64?x20在Rt△ACF中，由勾股定理得AF=80，∴FB’=40，又O为AB’中点，∴FO=20，∴，?8064线，∴△ACF∽△BDG∽△POF，解得x=39，即CP=39米，∴将天桥建在距离C点39米处，可使由A到B的路线最短．7分

AOCPFEB'DBQ

（其它如作对称点等构造方法，只要合理即可酌情得分）

23. （2018·湖北襄阳·一模）如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，

2

垂足为E，且PC=PE·PO.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若OE︰EA=1︰2，PA=6，求⊙O的半径；

2

答案：（1）连结OC. ∵PC=PE·PO，

PCPO?PEPC.∠P=∠P. ∴

∴△PCE∽△POC，

∴∠PEC=∠PCO.又∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°， ∴∠PCO=90°. ∴PC是⊙O的切线.

（2）设OE=x.∵OE︰EA=1︰2，EA=2x，OA=OC=3x， OCOP?3xOEOC. ∴OP=+6.又∵CE是高，∴Rt△OCE∽Rt△OPC,

2(3x)?x(3x?6). ∴OC=OE·OP. 即

2

∴x1?1，x2?0（不合题意，舍去）.故OA=3. 24．（2018·湖北襄阳·一模）（本小题满分13分）

在平面直角坐标系中，二次函数y?ax?bx?2的图象与x轴交于A（－3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

（3）点Q是直线AC上方的抛物线上一动点，过点Q作QE垂直于x轴，垂足为E．是否存在点Q，使以点B、Q、E为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由；

2

答案：解：（1）由抛物线y?ax?bx?2过点A（－3，0），B（1，0）， 则?2?0?9a?3b?2

0?a?b?2?2?a????3解得?

?b??4?3? ∴二次函数的关系解析式y??224x?x?2． 33 （2）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N．…4分 设点P坐标为（m，n），则n??224m?m?2． 33

224（5分） m?m?2，PN??m，AO=3．

3324 当x?0时，y???0??0?2＝２．

33 PM =?∴OC=2．

111AO?PM?CO?PN?AO?CO 22212411 ＝?3?(?m2?m?2)??2?(?m)??3?2＝?m2?3m．8分

233223 ∵a＝－１＜0，∴当m??时，函数S?ACP??m2?3m有最大值．

22423435 此时n??m2?m?2???(?)2??(?)?2＝．

333232235∴存在点P(?,)，使△ACP的面积最大．

22321 （3）存在点Q，坐标为：Q1(?2,2)，Q2(?,)．

48S?ACP?S?PAo?S?PCO?S?ACO＝

分△BQE∽△AOC，△EBQ∽△AOC，△QEB∽△AOC三种情况讨论可得出． 25.（2018·广东·一模）（本题满分12分）抛物线y=-x2+bx+c经过点A、B、C，已知A（-1，0），C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；

（3）如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段EF上一点，若∠MNC=90°，请指出实数m的变化范围，并说明理由．

解：（1）由题意得：∴抛物线解析式为（2）令

，解得：；

，

，∴x1= -1，x2=3，即B（3，0），

设直线BC的解析式为y=kx+b′，

∴，解得：，∴直线BC的解析式为，