14．(2018·上海闵行区·二模)如图，已知在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E、F，交边DC于点G，交边AB于点H．联结AF，CE． （1）求证：四边形AFCE是菱形；

2

（2）如果OF=2GO，求证：GO=DG?GC．

【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定；矩形的性质． 【专题】证明题．

【分析】（1）根据矩形的性质得到AD∥BC，由平行线的性质得到∠EAC=∠ACF，推出△EOA≌△FOC，根据全等三角形的性质得到AE=CF，OE=OF，推出四边形AFCE是平行四边形，根据菱形的判定定理即可得到结论；

（2）根据相似三角形的性质得到，等量代换求得结论； 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，

∴∠EAC=∠ACF， 在△EOA和△FOC中，

，

∴△EOA≌△FOC， ∴AE=CF，OE=OF，

∴四边形AFCE是平行四边形， ∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形；

（2）∵∠EDG=∠COG=90°，∠EGD=∠CGO， ∴△EGD∽△CGO，

∴， ∵OF=2GO， ∴EG=GO，

2

∴GO=DG?GC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 15．(2018·上海浦东·模拟)（本题满分12分，第(1)、（2）小题各6分） 如图，已知：四边形ABCD是平行四边形， 点E在边BA的延长线上，CE交AD于点F，∠ECA

= ∠D．

（1）求证：?EAC∽?ECB；

（2）若DF = AF，求AC︰BC的值．

（1）证明：因为，四边形ABCD是平行四边形， 所以，∠B = ∠D，

因为∠ECA = ∠D，所以∠ECA = ∠B， 因为∠E = ∠E， 所以△ECA∽△ECB

(2)解：因为，四边形ABCD是平行四边形， 所以，CD∥AB，即：CD∥AE 所以

CDDF ?AEAF因为DF=AF，所以，CD=AE，

因为四边形ABCD是平行四边形，所以，AB=CD，所以AE=AB，所以，BE=2AE， 因为△ECA∽△EBC 所以

AECEAC ??CEBEBC所以CE2?AE?BE?CE21 ?BE2，即：

BE22所以

AC2． ?BC216．(2018·上海浦东·模拟)如图，Rt△ABC中，?ACB?90，BC?6，点D为斜边

AB的中点，点E为边AC上的一个动点．联结DE，过点E作DE的垂线与边BC交于

点F，以DE,EF为邻边作矩形DEFG．

（1）如图1，当AC?8，点G在边AB上时，求DE和EF的长； （2）如图2，若式； （3）若 解：(1)

DE1?，设AC?x，矩形DEFG的面积为y，求y关于x的函数解析EF2DE2?，且点G恰好落在Rt△ABC的边上，求AC的长． EF3CEFCFEGADBADGB第16题 图2

如

图

，

∵

第16题 图1

AD?1AB?52 ∴

DE?FG?5?315?． 44

331545 FG???4441645351535∴DG?5?． 即DE??,EF?．

1616416 BG?（2）过点D作DH?AC于点H， 从而DH?3． 易得△DHE∽△ECF， 由可得EC?2DH?6， EH?22DE1 ?，

EF21x?6． 2xx22所以DE?3?(?6)??6x?45．

24CxEH3ADF6GBx2∴y?DE?EF?2DE??12x?90．

22(3) 由题意，点G可以在边BC或者AB上． ①如左图 若点G在边BC上， 从而由

DE?3，可知EF?9， 于是2AC?2EF?9；

②如右图， 若点G在边AB上． 记AD?DB?a，

矩形边长DE?2b,EF?3b，

ADFGa2b， 即， 化简可得a2?3ab?4b2?0， ??DEGB2ba?3b因式分解后有:a?4b， 即AD?2DE． 而由△ADE∽△ACB， 所以AC?2BC， 从而AC?12．

由△ADE∽△FGB， 可得

综上知，AC的值为9或12.

17.（2018·江苏省南京市钟爱中学·九年级下学期期初考试）（10分）△ABC，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，一条直线DE与边AC相交于点D，与边AB相交于点E．

（1）如图①，若DE将△ABC分成周长相等的两部分，则AD+AE等于多少；（用a、b、c表示）

（2）如图②，若AC=3，AB=5，BC=4．DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，求AD； （3）如图③，若DE将△ABC分成周长、面积相等的两部分，且DE∥BC，则a、b、c满足什么关系？

答案：（10分） 解：（1）∵DE将△ABC分成周长相等的两部分，

∴AD+AE=CD+BC+BE=（AB+AC+BC）=（a+b+c）；

（2）设AD=x，AE=6﹣x， ∵S△ADE=AD?AE?sinA=3， 即：x（6﹣x）?=3， 解得：x1=∴AD=

（舍去），x2=；

，

（3）∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC， ∴

，

∵=，

∴AD=∴∴

b=

b，AE=c，

c=（a+b+c）， ﹣1．

18.（2018·上海市闸北区·中考数学质量检测4月卷）如图，直角梯形ABCD中，∠B=90°，

AD∥BC，BC=2AD，点E为边BC的中点． （1）求证：四边形AECD为平行四边形；

（2）在CD边上取一点F，联结AF、 AC、 EF，设AC与EF 交于点G，且∠EAF=∠CAD．求证：△AEC∽△ADF；

（3）在（2）的条件下，当∠ECA=45°时．求：FG:EG的比值．

D A F

G B

E （第18题图）

C

答案：解：（1）∵AD∥BC，BC＝2AD，

点E是BC上的中点，∴BC＝2CE ∴AD＝CE，