……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
1.2.1 任意角的三角函数(一)
学习目标 1.借助单位圆理解任意角的三角函数定义(重点).2.掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数的定义理解终边相同的角的同一三角函数值相等(难点)．
知识点1 三角函数的概念 1．任意角的三角函数的定义
如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y) 正弦 余弦 定义 正切 三角 函数 前提 y叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝y x叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x yy叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝(x≠0) xx正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域 三角函数 sin α cos α tan α
【预习评价】
已知角α的终边经过点(－α＝________．
解析 因为(－321231
)＋(－)＝1，所以点(－，－)在单位圆上，由三角函数的定义2222
31
，－)，则sin α＝________，cos α＝________，tan 22
R R π{α|α∈R且α≠kπ＋，k∈Z} 2定义域 133
知sin α＝－，cos α＝－，tan α＝．
223
133
答案 － － 223
知识点2 三角函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
1
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
【预习评价】
三角函数在各象限的符号由什么决定？
提示 三角函数值的符号是根据三角函数定义和各象限内坐标符号推导出的．从原点到角的终边上任意一点的距离r总是正值．因此，三角函数在各象限的符号由角α的终边所在象限决定．
知识点3 诱导公式一
1．语言表示：终边相同的角的同一三角函数的值相等． α＋k·2π??
2．式子表示：?cosα＋k·2π
?α＋k·2π?【预习评价】
π19π
计算：sin(2π＋)＝________，cos＝________．
63
ππ119πππ1
解析 sin(2π＋)＝sin＝，cos＝cos(6π＋)＝cos＝．
662333211
答案
22
考查 方向 方向1 三角函数定义的直接应用
3
【例1-1】 在平面直角坐标系中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，
5求tan α．
3322
解 由题意，设点A的坐标为(x，)，所以x＋()＝1，
5544
解得x＝或－．
55
题型一 任意角的三角函数的定义及应用 ＝sin α，＝tan α，＝cos α，其中k∈Z.
2
……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
3534
当x＝时，角α在第一象限，tan α＝＝；
544
54
当x＝－时，角α在第二象限，tan α＝
5方向2 含参数的三角函数定义问题
【例1-2】 已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 解 r＝
－3a2
3＝－． 44－5
35
＋a2
＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限．
y4a4x－3a3
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
r5a5r5a5
83
所以2sin α＋cos α＝－＝1．
55②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， 4a4－3a3
sin α＝＝－，cos α＝＝．
－5a5－5a583
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1．
55方向3 已知三角函数值求参数值
5
【例1-3】 已知角α的终边经过点P(5m,12)，且cos α＝－，则m＝________．
135
解析 cos α＝－<0，则α的终边在第二或三象限，又点P的纵坐标是正数，所以
13α是第二象限角，所以m<0，由
答案 －1
规律方法 由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤 (1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：
①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正弦、余弦函数的定义求出相应三角函数值；
②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)，则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数值时，用这几个公式更方便．
(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分
3
5
＝－，解得m＝－1． 2
1325m＋144
5myrxr……………………………………………………………最新教学推荐…………………………………………………
类讨论．
题型二 三角函数在各象限的符号问题
【例2】 (1)若角θ同时满足sin θ<0且tan θ<0，则角θ的终边一定位于( ) A．第一象限 C．第三象限
B．第二象限 D．第四象限
解析 由sin θ<0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的正半轴重合．由tan θ<0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．故选D．
答案 D
(2)判断下列各式的符号：
①tan 191°－cos 191°；②sin 2·cos 3·tan 4． 解 ①因为191°是第三象限角； 所以tan 191°>0，cos 191°<0． 所以tan 191°－cos 191°>0．
②因为2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角． 所以sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0． 所以sin 2·cos 3·tan 4<0．
规律方法 三角函数值符号的判断问题：
(1)由三角函数的定义可知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r>0)可知三角函数值的符号是由角的终边上一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，故准确确定角的终边位置是判断该角三角函数值符号的关键．
(2)由三角函数值的符号确定α角的终边所在象限问题，应首先依据题目中所有三角函数值的符号来确定角α的终边所在的象限，则它们的公共象限即为所求．
【训练1】 判断下列三角函数值的符号： (1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ为第二象限角)． π3π
解 (1)∵<3<π<4<<5<2π，
22∴3,4,5分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0．
π