2019年天津市河北区高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）
1. 设集合A={0，1，2，3，4，5，6}，B={x|x=2n，n∈A}，则A∩B=（ ）
A. 2， B. 4， C. 2，4， D. 2，4，6，8，10， 2. 若复数 为纯虚数（i为虚数单位），则实数a的值为（ ）
10. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为______．
，z=2x+2y的最小值为______． 11. 若实数x，y满足条件 ，则
，t为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半12. 在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为 （
2
轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ+2ρsinθ=3，若直线与圆交于M，N两点，则线段MN的长度为______．
* 13. 已知首项与公比相等的等比数列{an}中，若m，n∈N，满足 ，则 的最小值为______．
A.
B.
x
x
C. 0 D. 1
3. 命题p：“?x∈（-∞，0），3≥4”的否定￢p为（ ）
A. ? ∈ ， B. ? ∈ ， C. ∈ D. ∈
4. 已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
=x 14. 如图，在平面四边形ABCD中，∠ABC=90°，∠DCA=2∠BAC，若 +y
（x，y∈R），则x-y的值为______．
三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）
B，C的对边分别为a，b，c，15. 已知△ABC的内角A，满足 ．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）若a=3，b=2 ，求sin（2B+A）的值．
16. 某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、
复赛，甲、乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，
答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为 ，乙队中3人答对的概率分别为 ， ， ，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分． （Ⅰ）求ξ的分布列和数学期望；
（Ⅱ）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面为菱形，AA1⊥底面ABCD，∠BAD=120°，AB=2，E，F分别为CD，AA1的中点． （Ⅰ）求证：DF∥平面B1AE；
（Ⅱ）若直线AD1与平面B1AE所成角的正弦值为 ，求AA1的长； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角B1-AE-D1的正弦值．
第1页，共8页
A.
5. 已知双曲线
B.
C. D.
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线
的一个交点为（3，4），则此双曲线的方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
6. 已知四面体ABCD的四个面都为直角三角形，且AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2，若该四面体的四个顶
点都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A. B.
C.
D.
7. 已知函数 ，x∈R，给出下列四个命题：
①函数f（x）的最小正周期为2π； ②函数f（x）的最大值为1；
③函数f（x）在 ， 上单调递增；
④将函数f（x）的图象向左平移 个单位长度，得到的函数解析式为g（x）=sin2x． 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 8. 设函数
， ＜
C. 3
，若f（x）的最大值不超过1，
D. 4
，
则实数a的取值范围为（ ）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
9. 交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情
况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人．若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为______ ．
17. 已知数列{an}满足a1=2， ，设bn= ．
（Ⅰ）求b1，b2，b3的值；
（Ⅱ）证明数列{bn}是等差数到；
（Ⅲ）设 ，求数列{cn}的前n项和Tn（n∈N*）．
18. 已知椭圆 ：
过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；
（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．
3
19. 已知函数f（x）=x-3ax+e，g（x）=1-lnx，其中e为自然对数的底数．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线l：x+2y=0垂直，求实数a的值； （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）用max{m，n}表示m，n中的较大者，记函数h（x）=max{f（x），g（x）}（x＞0）．若函数h（x）在（0，+∞）内恰有2个零点，求实数a的取值范围．
第2页，共8页
答案和解析
1.【答案】C
【解析】
故选：D．
利用对数函数、指数函数的单调性直接求解．
本题考查三个数的大小的比较，考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 5.【答案】C
【解析】
解：∵集合A={0，1，2，3，4，5，6}，
B={x|x=2n，n∈A}={0，2，4，6，8，10，12}， ∴A∩B={0，2，4，6}． 故选：C．
先求出集合A，B，由此能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运用求解能力，考查函数与方程思想，是基础题． 2.【答案】A
【解析】
解：∵点（3，4）在以|F1F2|为直径的圆上，
22
∴c=5，可得a+b=25…①
又∵点（3，4）在双曲线的渐近线y=x上，
为纯虚数，
∴=…②，
①②联解，得a=3且b=4， 可得双曲线的方程故选：C．
22
根据题意，点（3，4）到原点的距离等于半焦距，可得a+b=25．由点（3，4）在双曲线的渐近线上，
解：∵∴故选：A．
=
，即a=-1．
-=1．
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解． 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3.【答案】C
【解析】
得到=，两式联解得出a=3且b=4，即可得到所求双曲线的方程．
，
本题给出双曲线满足的条件，求双曲线的方程，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质，主要是渐近线方程的运用，属于中档题． 6.【答案】D
【解析】
解：命题是全称命题，则￢p：故选：C．
根据全称命题的否定是特称命题进行判断．
本题主要考查含有量词的命题的否定，根据全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键．比较基础． 4.【答案】D
【解析】
解：由题意，四面体有四个面都为直角三角形，四面体放到长方体中，AB⊥平面BCD，AB=BD=CD=2， 可得长方体的对角线为∴球O的半径R=
．
．
解：∵
0
∴0＜a=（）＜（）=1，
，
2
球O的表面积S=4πR=12π．
故选：D．
将四个面都为直角三角形的四面体放到长方体中，根据
b=log23=log49＞c=log47＞log44=1， ∴a，b，c的大小关系为a＜c＜b．
第3页，共8页
AB=BD=CD=2，求解长方体对角线，可得球O的半径，从而求解球O的表面积． 本题考查多面体外接球表面积与体积的求法，考查分割补形法，是中档题． 7.【答案】B
【解析】
综上可得a的范围是[-，+∞）． 故选：A．
讨论x＜a+1时，x≥a+1时，由指数函数、绝对值函数的单调性，可得最大值，解不等式即可得到
解：依题意，==
=sin（2x-），
所以f（x）的最小正周期T=由+2kπ≤2x-≤
所求范围．
本题考查分段函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及指数函数和绝对值函数的单调性，考查运算能力，属于中档题． 9.【答案】808
【解析】
=π，①错误；最大值为1，②正确；
]，故③错误；
解：对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查．
假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人． 在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43， 则
=
，
得，f（x）的单调递增区间为[，
将函数f（x）的图象向左平移g（x）=sin[2（x+故选：B．
个单位长度，得到的函数解析式为
）-]=sin2x，故④正确．
∴这四个社区驾驶员的总人数N=808．
=
=
故答案为：808．
利用分层抽样列出方程，由此能求出这四个社区驾驶员的总人数N．
本题考查四个社区驾驶员的总人数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意分层抽样的性质的合理运用． 10.【答案】4
【解析】
|x-a|
=sin（2x-），所以其周期，最值，单调性，平移情况皆可判断．
本题考查了正弦型函数的最小正周期、最值、单调性、图象的平移等知识，考查字母运算能力，和三角公式的掌握和运用．属于中档题． 8.【答案】A
【解析】
解：当x＜a+1时，f（x）=（）在（-∞，a）递增， 解：a=72，S＜50是，S=S＜50是，S=36+S＜50是，S=48+S＜50否，输出i=4， 故答案为：4
=36，i=2，
[a，a+1）递减，可得x=a处取得最大值，且为1； 当x≥a+1时，f（x）=-a-|x+1|，
当a+1≥-1，即a≥-2时，f（x）递减，可得-a-|a+2|≤1， 解得a≥-；
当a+1＜-1，即a＜-2时，f（x）在x=-1处取得最大值，且为-a≤1， 则a∈?．
=36+12=48，i=3， =48+6=54，i=4，
根据程序框图进行模拟运算即可．
本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
第4页，共8页