概 率 在 数 学 建 模 中 的 应 用

姓名：邓洪波 高强 庞宁

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概率论与数理统计在数学建模中的应用

通过五天的学习我们主要学习了三个方面的知识，包括：概率模型，统计回归模型，以及马氏链模型。通过这三个方面的学习，大体上了解了概率在数学建模中的应用以及它所能解决的问题类型。下面就这三个方面的内容做一下简单的介绍 。

首先对概率模型做一下简单的介绍。对于实际问题我们所研究的对象无非是制定计划使效率最高，收入最高，费用最小，浪费最小以及变化趋势的估计等问题。在这类问题中，题目往往给出的是实际背景，我们需要从这些实际背景中，抽象出数学模型，设出所需要的变量，然后用所学的知识解决问题，并且每一个模型都要进行“模型假设”，这是用数学知识解决问题的一个前提条件，下面就一个实际的题目进行各个方面的分析。

比如有如下问题：以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。用到的知识是（s，S）存贮策略，即制丁下界s，上界S，当周末库存小于s时订货，是下周初的库存达到S;否则，不订货。要解决的问题是考在虑订货费，存贮费，缺货费，购进费的情况下，制订（s，S）存贮策略，使总费用最小。

首先我们进行模型的假设，设出建模中所用到的变量，如下：1.每次订货费c0,每件商品的购进价为c1,每件商品一周贮存费c2，每件商品缺货损失费c3（c1?c3）；2.每周销售量r随机，连续，概率密度p(r)；3.每周库存量x，订

u，周初库存量x?u；4. 每周贮存量按 x+u-r 计等等，当然有些问题再“模型的假设”这一过程中除了对变量做相关的假设以外还要对实际问题进行假设，比如在《传送系统的效率》中我们曾假设：生产进入稳态，每人生产完一件产品的时刻在一个周期内是等可能的等。当然有些问题在做一般假设的时候还不能解决问题，还要进行进一步的假设，比如在《随机人口模型》中，在我们假设出生率bx与?t成正比之后，又做了进一步的假设，假设出生率bx与人口的总数n成正比。通过进行各种模型的假设有利于我们在建模的过程中解决实际问题。 模型的建立，对于上题，我们考虑到两种情况，即一种是不用订货，另一种是需要订货，写出目标函数：

?c?cu?L(x?u),J(u)??01?L(x)x?0x

u?0u?0 ， 其中

在此步骤中我们需要列出目标函数L(x)?c2?(x?r)p(r)dr?c3?(r?x)p(r)dr，

以及约束条件，当然目标函数的选择也是至关重要的，选择一个合适的模型是取

得比赛胜利的关键，比如在《轧钢中的浪费》中我们建立的第一个模型是：

W??(x?l)p(x)dx??xp(x)dx?m?lP。通过分析建立了第二个模型，得到一

l???t根成品材平均浪费长度：

mN?lPNm??l。发现第二个模型较第一个模型较合

PNP适，因此选择第二个模型。

模型的求解，模型的求解就是利用相关的数学知识进行求解，最终得到所需结果，采用最多的数学方法是求导数，因为我们在这类问题中主要解决的往往是最值问题，因此利用导数求解是非常常见的。比如上题中确定S。如下：

S?dJ设x

0Sdu?dJ令?0 得：du?S0?Sp(r)drc?cp?31?1p(r)drc2?c1p2 , 可以接的S的值。

另外两个重要的方法是就是临界点的确定和图解法。比如对库存x，确定订货点s的过程中用到了这两种方法。对库存x，确定订货点s,若订货u，u+x=S，总费用为J1?c0?c1(S?x)?L(S),若不订货，u=0，总费用为J2?L(x)

当J2?J1时，不订货?L?x??c0?c1?S?x??L(S)? c1x?L(x)?c0?c1S?L(S) 记c1x?L(x)?I(x) ?I(x)?c0?I(S)，订货点s是I(x)?c0?I(S)的最小正根。

图解法就是利用图形对问题进行求解。在本问题中，我们观察目标函数的图像：

J(u)在u?x?S达到最小

?J(u)与I(x)相似?I(x)在x?S处达到最小值I(S)得解。

下面讨论一下回归统计模型，我们知道数学建模的基本方法有机理分析和测试分析两大类，由于受研究客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制，无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规律的数学模型。我们可以通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型，其中，回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型。学习这部分涉及的几点内容：不涉及回归分析的数学原理和方法；通过实例讨论选择不同类型的模型；对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进。运用回归分析所解决的问题主要是对未来的各个参数预测和研究各个参数之间的相互关系。这类问题较前一个问题的不同在于目标函数是的类型是明确的，在《软件开发人员的薪金》中提到的回归模型：和

y?a0?a1x1?a2x2?a3x3?a4x4?a5x2x3?a6x2x4??，在《酶促反应》中提到的

线性化模型

(?1??1x2)x111??1??2和混合模型y?以及在《投资额与国民

(?2??2x2)?x1yx生产总值和物价指数》中提到的自回归模型

yt??0??1x1t??2x2t??t,?t???t?1?ut。解决回归统计模型的关键就是解出模

型中涉及到的回归系数，当然除此之外仍有许多问题需要注意。

1.考虑模型中某些元素间的交互作用，在《牙膏的销售量》中，我们建立两

22??和y??0??1x1??2x2??3x2??4x1x2??，个模型y??0??1x1??2x2??3x2虽然前一个模型也能解决问题，但是我们在比较二者的结果之后发现后者预测区

间长度比前者更短，因此，引入交互项之后模型的结果更准确。同样在《软件开发人员的薪金》中，第一个模型的最终解释是不可靠的，当我们再增加管理x2与教育x3,x4之后，残差图十分正常最终模型的结果可以应用。

2.当遇到非线性化模型的时候，将非线性化模型转化为线性模型。在《酶促反应》中，建立了第一个模型为y??1x?2?x，发现的对?1,?2是非线性的，因此为

了方便问题的求解我问将问题转化为

11?211????1??2，它变成了对y?1?1xx?1,?2的线性模型，有利于问题的求解。

3.考虑随机误差的自相关性。在《投资额与国民生产总值和物价指数》中，

在不考虑随机误差的自相关性时建立了一个模型，但用此模型会有不良后果，通过“残差诊断法”判断出随机误差项存在自相关，因此需建立自回归模型：

yt??0??1x1t??2x2t??t,?t???t?1?ut。其中?为自回归系数。通过D?W检

验估计?，D-W检验为：DW=

?(et?2nt?et?1)?)，然后通过广义差分变换建立?2(1??2t?et?2n新模型。

4.最后一点就是会解释回归模型。当模型建立出来以后我们应该会对模型进行解释和说明，在所给的各个例题中，不管最后模型建立出来是图形还是数学表达式，都要学会对模型进行说明和利用，否则，模型建立的再好也是没用的。

以上是对回归模型的讨论，下面对随机过程和马氏链模型进行讨论。随机过程简单地说就是研究对象位于时间变化有关的随机现象。数学定义为：E表示随机试验，S=?e?为样本空间如果对每一个系数t?T,x(e,t)为建立在S上的随机变量并且对每一个e?S,x(e,t)为t函数，那么称随机变量簇?x(e,t),t?T,e?S?为一个随机过程简记为?x(t),t?T?或x(t)实际的例子有布朗运动，打骰子等等。以下做简单的注释，1.e?e0确定，x(e0,t)表示一个样本函数，看做随机过程的一次