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16.e 2【解析】 【分析】
先构造函数f1?x??f?x??12x,研究其单调性与奇偶性,再化简不等式2f(x)?1?f(1?x)?x,解得x0取值范围,最后根据不动点定义,利用导数求出a的范围,2即得最小值. 【详解】
由f??x??f?x??x,令f1?x??f?x??212x, 2则f1?x?为奇函数,当x?0时,f1??x??f??x??x?0, 所以f1?x?在???,0?上单调递减, 所以f1?x?在R上单调递减,
??1x?xfx??f1?x?x因为存在0??????,
2??所以f1?x0??f1?1?x0?, 所以x0?1?x0,即x0?1. 2因为x0为函数g?x?一个不动点, 所以g?x??x在x?1时有解, 2x令h?x??g?x??x?e?ex?a,x?1, 211x因为当x?时,h??x??e?e?e2?e?0,
2所以函数h?x?在x????,?时单调递减,且x???时,h?x????,
2??1??所以只需h?【点睛】
1?1?e?e?e?a?0. ,得a??22?2?本题考查函数奇偶性、单调性以及利用导数研究方程有解问题,考查综合分析求解能力,属
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难题.
17.(1)a??1或4;(2)a?2;(3)?2,4? 【解析】 【分析】
(1)根据复数为实数条件列方程解得结果,(2)根据纯虚数定义列式求解,(3)根据复数几何意义列不等式解得结果 【详解】
(1)因为复数z为实数,所以a2?3a?4?0, 所以a??1或4;
?a2?a?2?0(2)因为复数z为纯虚数,所以?2,
?a?3a?4?0所以a?2
?a2?a?2?0 (3)因为z对应的点在第四象限,所以?2a?3a?4?0?解不等式组得,2?a?4, 即a的取值范围是?2,4?. 【点睛】
本题考查复数相关概念以及复数几何意义,考查基本分析求解能力,属基础题.
18.(1)该社区不可称为“健身社区”;(2)能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【解析】 【分析】
(1)计算平均数,再比较数据大小作出判断(2)先求卡方,再对照参考数据作出判断 【详解】
(1)随机抽样的100名居民每人每天的平均健身时间为
1.2?40?0.8?10?1.5?30?0.7?20?1.15小时,
100由此估计该小区居民每人每天的平均健身时间为1.15小时, 因为1.15小时?7小时=70分钟,所以该社区不可称为“健身社区”; 6答案第8页,总14页
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(2)由联立表可得,
2nad?bc??10040?20?30?10??K2???4.762?3.840,
?a?b??c?d??a?c??b?d?70?30?50?502所以能在犯错误概率不超过5%的情况下认为“健康族”与“性别”有关. 【点睛】
本题考查计算平均数以及卡方计算,考查基本分析求解判断能力,属基础题. 19.(1)见解析;(2)见解析 【解析】 【分析】
(I)先依题意预测出高三的6次考试成绩,由平均数的公式,分别计算即可; (Ⅱ)由题意先写出随机变量X的取值,以及对应的概率,即可求出分布列和期望. 【详解】
(I)由已知,预测高三的6次考试成绩如下:
第1次考 试 甲 乙
甲高三的6次考试平均成绩为
78 81 试 86 85 试 89 92 试 96 94 试 98 96 试 100 100 第2次考第3次考第4次考第5次考第6次考78?86?89?96?98?1001?91,
66乙高三的6次考试平均成绩为
81?85?92?94?96?1001?91
63所以预测:在将要进行的高三6次测试中,甲、乙两个学生的平均成绩分别约为91,91. (Ⅱ)因为X为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值, 所以X=0,1,2,3 所以P?X?0??112121,P?X?1??,P?X?2???,P?X?3???. 666363答案第9页,总14页
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所以X的分布列为
X P
所以E?X??0?【点睛】
0 1 2 3 1 61 61 31 3111111?1??2??3?? 66336本题主要考查平均数的计算以及离散型随机变量的分布列与期望,属于基础题型. 20.(1)证明见解析,y??a?1?x??a?1?;(2)?3ln2,?2 【解析】 【分析】
(1)将函数解析式重新整理,解得定点,再求导数,根据导数几何意义得切线斜率,最后根据点斜式得切线方程,(2)先解出a?1,再利用导数求函数值域. 【详解】
(1)因为f?x??ax?所以f1=-2,
所以函数f?x?的图像经过一个定点A?1,?2?, 因为f??x??a???22?3lnx?a?a?x?1???3lnx, xx()23?, x2x所以切线的斜率k?f??1??a?1,.
所以在A点处的切线方程为y?f??2???a?1??x?1?, 即y??a?1?x??a?1?; (2)因为f??故f?x??x??2??2???af,????1,所以a?1, ?3??3?2?3lnx?1, x答案第10页,总14页