18、（本小题满分12分） 考查频率分布直方图和概率。 [解析]：(1)由频率分布直方图知第七组的频率
f7＝1－(0.004＋0.012＋0.016＋0.03＋0.02＋0.006＋0.004)×10＝0.08.直方图如图． ----- 3分 (2)估计该校的2 000名学生这次考试的平均成绩为： 65×0.04＋75×0.12＋85×0.16＋95×0.3＋105×0.2＋1 15×0.06＋125×0.08＋135×0.04＝97(分)． ---------- 7分
(3)第六组有学生3人，分别记作A1，A2，A3，第一组有学生2人，分别记作B1，B2，则从中任取2人的所有基本事件为(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共10个．分差大于10分表示所选2人来自不同组，其基本事件有6个：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，所以从中任意抽取2人， 分差小于10分的概率P＝19、（本小题满分12分）
解析：（1）在梯形ABCD中，?AB//CD， AD?BC， ?四边形ABCD是等腰梯形??ABC?60?,AD?CD
42＝。 ------------------- 12分 105??DCA??DAC?30?,?DCB?120?，
??ACB??DCB??DCA?90??AC?BC. ……3分
?四边形ACFE是矩形，?FC?AC又平面ACFE?平面ABCD，交线为AC ?FC?面ABC，?FC?BC?AC?FC?C
?BC?平面ACFE . …………6分
（2）当EM?3a时，AM//平面BDF， ……7分 3由（1）知AB=2a
在梯形ABCD中，设ACBD?N，连接FN，则CN:NA?CD:AB?1:2，
?EM?3a，而EF?AC?3a，?EM:MF?1:2， …………9分 3?MF//AN，?四边形ANFM是平行四边形，?AM//NF，
又?NF?平面BDF，AM?平面BDF?AM//平面BDF. …………12分 20、（本小题满分12分）考查椭圆的方程和基本性质，与向量相结合的综合问题。 [解析]：(1)由题知2|F1F2|＝|MF1|＋|MF2|，
2b23?3，得b2?a② 即2×2c＝2a，得a＝2c.① 又由a2且a?b?c，综合解得c＝1，a＝2，b＝3.
x2y2
∴椭圆E的方程为＋＝1. ----------------- 5分
43
·9·
222(2)假设以原点为圆心，r为半径的圆满足条件．
(ⅰ)若圆的切线的斜率存在，并设其方程为y＝kx＋m，则r＝m2
r＝2，①
k＋1
2
|m|
， k2＋1
xy??4＋3＝1，由?消去y，整理得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－3)＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有??y＝kx＋m
22
2??x＋x＝－3＋4k，?－xx＝.??3＋4k
1
2
22
12
8km
→→
又∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0，
即4(1＋k2)(m2－3)－8k2m2＋3m2＋4k2m2＝0，化简得m2＝
122
(k＋1)，② 7
1212
由①②求得r2＝. 所求圆的方程为x2＋y2＝. ------------------ 10分
77→→
(ⅱ)若AB的斜率不存在，设A(x1，y1)，则B(x1，－y1)，∵OA⊥OB，
2x1y212→→12222
∴OA·OB＝0，有x1－y1＝0，x1＝y1，代入＋＝1，得x2. 1＝437
此时仍有r2＝|x21|＝
12
. 7
12
满足题设条件． --------------- 12分 7
综上，总存在以原点为圆心的圆x2＋y2＝
21、（本小题满分12分）考查导数的基本概念（极值点的概念）、应用，含字母的分类讨论的思想。 1
[解析]：(1)因为f(x)＝lnx＋ax2＋bx，所以f ′(x)＝＋2ax＋b.
x因为函数f(x)＝lnx＋ax2＋bx在x＝1处取得极值，
2x2－3x＋1
f ′(1)＝1＋2a＋b＝0.当a＝1时，b＝－3，f ′(x)＝，
xf ′(x)、f(x)随x的变化情况如下表：
x f ′(x) f(x) 1(0，) 2＋ 1 20 极大值 ·10·
1(，1) 2－ 1 0 极小值 (1，＋∞) ＋ 11
所以f(x)的单调递增区间为(0，)和(1，＋∞)，单调递减区间为(，1) ---- 3分
22
1，f(x)的极小值点为1。 --------------- 4分 22ax2?(2a?1)x?1(2ax?1)(x?1)(2)因为f ′(x)＝＝(x?0)，
xx所以f(x)的极大值点为
1
令f ′(x)＝0得，x1＝1，x2＝，
2a
1
因为f(x)在x＝1处取得极值，所以x2＝≠x1＝1，
2a1
（ⅰ）当<0时，f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，
2a
所以f(x)在区间(0，e]上的最大值为f(1)，令f(1)＝1，解得a＝－2，-------- 7分 1
（ⅱ）当a>0时，x2＝>0，
2a
111
①当<1时，f(x)在(0，)上单调递增，(，1)上单调递减，(1，e)上单调递增，
2a2a2a1
所以最大值1可能在x＝或x＝e处取得，
2a111111
而f()＝ln＋a()2－(2a＋1)·＝ln－－1<0，
2a2a2a2a2a4a
1所以f(e)＝lne＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝； ------------------ 9分
e－2
111
②当1≤ 2a2a2a可能在x＝1或x＝e处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)<0，所以f(e)＝lne＋ae2－(2a＋1)e＝1，解得a＝ 11 ，与1 2ae－2 1 ③当x2＝≥e时，f(x)在区间(0,1)上单调递增，在(1，e)上单调递减， 2a所以最大值1可能在x＝1处取得，而f(1)＝ln1＋a－(2a＋1)<0，矛盾． ·11· 1 综上所述，a＝或a＝－2. ------------------------ 12分 e－2请考生从第22、23、24、题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22、（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 [解析]：证明： (1)因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM.又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，OA2＝OM·OP. ------------------- 4分 (2)因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，同(1)，有OB2＝ON·OK，又OB＝OA，所以OP·OM＝ON·OK， ONOM 即＝.又∠NOP＝∠MOK， OPOK 所以△ONP∽△OMK，故∠OKM＝∠OPN＝90°. ------------------- 10分 23、（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 [解析]：（1）由点A(2,?4)在直线?cos(θ－4)＝a上，可得a=2 π 所以直线l的方程可化为?cos???sin??2 从而直线l的直角坐标方程为x?y?2?0。 ------------------- 4分 （2）由已知得圆C的直角坐标方程为(x?2)?y?1 所以圆C的圆心为（2，0），半径r?1， 而直线l的直角坐标方程为x?y?222a，若直线l与圆C相交的弦长为2 2?2a22?则圆心到直线l的距离为，所以d? 222求得a?232或a? -------------------------- 10分 2224、（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 [解析]：(1)因为|x＋3|＋|x－4|≥|x＋3－x＋4|＝7，当且仅当(x＋3)(x－4)≤0时等号成立．所以f(x)＝7时，－3≤x≤4，故x∈[－3,4]． ------------------- 4分 ??2x?3?a,(x??3)?(2)由题知f(x)＝?3?a,(?3?x?a) ?2x?3?a,(x?a)?当a＋3≥6时，不等式f(x)≥6的解集为R，不合题意； ·12·