证明组合恒等式的方法与技巧

前言

组合恒等式在数学及其应用中占有不可忽视的地位,它是以高中排前言列组合、二项式定理为基础．组合恒等式的证明有一定的难度和特殊的技巧，且灵活性很强，要求学生掌握这部分知识，不但要学好有关的基础知识，基本概念和基本技能，而且还要适当诱导学生拓宽思路、发挥才智，培养解决问题方法多样化的思想．下面就以例题讲解的形式，把证明组合恒等式的常见方法与技巧一一列举出来．

1. 利用组合公式证明

组合公式：Cmn=

n!m（!n－m）！mn

例1． 求证：mC=nCm－1n－1

分析：这是组合恒等式的一个基本性质，等式两边都只是一个简单的组合数．由此，我们只要把组合公式代入，经过简化比较，等号两边相等即可．

证：∵ mCmn=

m?n!m（!n－m）！

Cm－1n－1=

n（?n－1）!（m－1）（!n－m）！（m－1）（!n－m）！?mm－1n－1=

n（?n－1）!?m=

m?n!m（!n－m）！

∴ mCmn=nC.

技巧：利用组合公式证明时，只须将等式中的组合数用公式代入，经过化简比较即可，此方法思路清晰，对处理比较简单的等式证明很有效，但运算量比较大，如遇到比较复杂一点的组合恒等式，此方法而不可取．

2. 利用组合数性质证明

组合数的基本性质：（1）Cmn=Cnmn－m

m－1 （2）Cn＋1=Cn+Cnkm

（3）k ?Cn=n ?Cn－1

（4）Cn＋Cn＋Cn...＋Cn＝2

（5）Cn－Cn＋Cn－Cn＋...＋（－1）Cn＝0

0123nn012nk－1n例2：求证：Cn1＋2?Cn2＋3?Cn3...＋n?Cnn＝n?2n－1

分析：等式左边各项组合数的系数与该项组合数上标相等，且各项上标是递增加1的,由此我们联想到组合数的基本性质：k ?C012nkn=n ?Cn－1 ，利用它可以将各项组合数的系数化为相等，再利用性质

k－1Cn＋Cn＋Cn...＋Cn＝2 可得到证明．

n证：由k ?Cn=n ?Cn－1 得 Cn1＋2?Cn2＋3?Cn3...＋n?Cnn

－1 ＝n?Cn0－1＋n?Cn1－1＋n?Cn2－1...＋n?Cnn－ 1kk－1－1 ＝n（Cn0－1＋Cn1－1＋Cn2－1...＋Cnn－） 1 ＝n ?2n－1.

012k－1k－1＋Cm＋1＋Cm＋2＋...＋Cm＋k－1＝Cm＋k 例3．求证：Cm分析： 观察到，等式左边各项的组合数的上标和下标存在联系：上标＋m＝下标，而且各项下标是递增＋1的．由此我们想到性质（2），将左边自第二项各项裂项相消，然后整理而得到求证．

证：由性质（2）可得

iii－1 Cm=Cm+Cm （i∈N） ＋i＋1＋i＋iiii－1 即Cm＝Cm－Cm ＋i＋i＋1＋i令i＝1，2，?，k－1，并将这k－1个等式相加，得

Cm＋1＋Cm＋2＋...＋Cm＋k－1

1021k－1k－2－Cm＋1＋Cm＋3－Cm＋2＋...＋Cm＋k－Cm＋k－1 ＝Cm＋212k－1＝－Cm＋1＋Cm＋k ＝－Cm＋Cm＋k

∴Cm＋Cm＋1＋Cm＋2＋...＋Cm＋k－1＝Cm＋k.

技巧：例2和例3的证明分别利用性质（3）（5）、（2）此方法的技巧关键在于观察，分析各项组合数存在的联系，读者应在平时实践做题总结，把它们对号入座，什么样的联系用什么样的性质来解决．

012k－1k－10k－10k－13. 利用二项式定理证明

我们都知道二项式定理：

（a＋b）＝a＋Cnann1n－1b＋Cna2n－2b＋...＋C2n－1nabn－1＋b，对于某些比较特殊的组合恒等式可以用它

n来证明，下面以两个例子说明

3．1．直接代值

例4．求证：（1）1＋3?Cn1＋32?Cn2＋...＋3n－1?Cnn－1＋3n＝22n

n－1n－1n（2）2n－2n－1?Cn1＋2n－2?Cn2＋...＋（－1）2?Cn＋（－1）＝1

分析：以上两题左边的各项组合数都是以 Cnian－ibi 的形式出现，这样自然会联想到二项式定理．

nn1n－12n－22n－1n－1n（a＋b）＝a＋Cnab＋Cnab＋...＋Cnab＋b ① 证：设

n122n－1n－1n＝1＋3?Cn＋3?Cn＋...＋3?Cn＋3即， ⑴ 令a＝1，b＝3，代入①，得 (1＋3）1＋3?Cn＋3?Cn＋...＋3122n－1?Cn－1n＋3＝2n2n

(2) 令a＝2，b＝－1，代入①，得

（2－1）＝2－22－2nn－1nnn－1?Cn＋221n-2?Cn＋...＋（－1）n－12n－1?2?Cn－1n＋（－1）即，

nn?Cn＋21n－2?Cn＋...＋（－1）2?Cn－1n＋（－1）＝1.

技巧：此方法的关键在于代值，在一般情况，a，b值都不会很大，一般都是0， 1，－1，2，－2 , 3，—3这些数，而且a，b值与恒等式右边也有必然的联系，如上题中1＋3＝2，2－1=1,在做题的时候要抓住这点．

23. 2．求导代值

nn－2（?n－1）?Cn＝n（?n－1）?2例5．求证： 2?1?Cn2＋3?2?Cn3＋...＋n （n≧2）

分析：观察左边各项组合数的系数发现不可以直接运用二项式定理，但系数也有一定的规律，系数都是i(i-1) i=2,3,?n 我们又知道（x）’’=i(i-1)x 由此我们想到了求导的方法．

n0证：对（1＋x）＝Cn＋ii-2

Cn＋x21C＋x...＋n322C x两边求二阶导数，得 nnn－2n（?n－1）（?1＋x）＝2?1?Cn＋3?2?Cn?x＋...＋n（n－1）?Cn?xn－2

令x=1

?Cn＝n（n－1）?2得 2?1?Cn＋3?2?Cn＋...＋n（n－1）23nn－2 （n≧2）

n（a＋x）＝技巧：此方法证明组合恒等式的步骤是，先对恒等式

n?i?0Cmain?1x 两边对x求一阶或二阶

i导数，然后适当选取x的值代入．

4. 比较系数法

比较系数法主要利用二项式定理中两边多项式相等的充要条件为同次幂的系数相等加以证明．

021222n2n例6．求证：(Cm)＋(Cm＋1)＋(Cm＋2)＋...＋(Cn)＝C2n （范德蒙恒等式）

分析：本题若考虑上面所讲和方法来证明是比较困难的，注意到等式左边各项恰是二项展开式中各项二项

122nn（1＋x）=Cn＋Cnx＋Cnx＋...＋Cnx和式系数的平方，考虑二项展开式

n0（1＋1x）＝Cn＋Cn01n1x＋C2n1x2＋...＋Cnn1xn这两个展开式乘积中常数项且好式是

(C0m)＋(C21m＋1)＋(C22m＋2)＋...＋(C2nn)

2n0122nn（1＋x）＝Cn＋Cnx＋Cnx＋...＋Cnx 证：∵

（1＋1x）＝Cn＋Cn01n1x＋C2n1x2＋...＋Cnn1xn

（1＋x）(1??∴

n1x2n)=（Cn＋Cnx＋Cnx＋...＋Cnx）?

n0122nn（Cn＋Cn011x＋C1x2＋...＋Cnn1xn）

（1＋x）(1??又有，

n1x)＝

n(1+x)xn2n

比较两边的常数项，左边常数项为(Cm)＋(Cm＋1)＋(Cm＋2)＋...＋(Cn)

右边的常数项为C2n(C0m021222n2n，根据二项展开式中对应项的唯一性得

nn)＋(C21m＋1)＋(C22m＋2)＋...＋(C2)＝C2n

2n技巧：此方法关键是适当地选择一个已知的恒等式，然后比较两边x同次幂的系数．当然，已知恒等式的

（1＋x）(1??x)选择不是唯一的，例5也可以选择已知恒等式

nn?(1?x) ，只须比较恒等式中两

2n边含有x的系数即可得证，证明留给读者．

n5. 利用数列求和方法证明