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第一讲 数与式

1、 绝对值

(1)绝对值的代数意义:正数的绝对值是它的本身,负数的绝对值是它的相反数,零的绝对值仍是零.即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?(2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值,是数轴上表示它的点到原点的距离. (3)两个数的差的绝对值的几何意义:a?b表示在数轴上,数a和数b之间的距离. 2、绝对值不等式的解法 (1)含有绝对值的不等式

①f(x)?a(a?0),去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是?a?f(x)?a。 ②f(x)?a(a?0),去掉绝对值后,保留其等价性的不等式是f(x)?a或f(x)??a。 ③f(x)?g(x)?f(x)?g(x)。 (2)利用零点分段法解含多绝对值不等式:

①找到使多个绝对值等于零的点.

②分区间讨论,去掉绝对值而解不等式.一般地n个零点把数轴分为n+1 段进行讨论. ③将分段求得解集,再求它们的并集. 例1. 求不等式3x?5?4的解集

例2.求不等式2x?1?5的解集

例3.求不等式x?3?x?2的解集

例4.求不等式|x+2|+|x-1|>3的解集.

22 1

例5.解不等式|x-1|+|2-x|>3-x.

例6.已知关于x的不等式|x-5|+|x-3|<a有解,求a的取值范围. 练习

解下列含有绝对值的不等式: (1)x?1?x?3>4+x (2)|x+1|<|x-2| (3)|x-1|+|2x+1|<4 (4)3x?2?7 (5)5x?7?8

3、因式分解 乘法公式

(1)平方差公式 (2)完全平方公式 (3)立方和公式 (4)立方差公式 (5)三数和平方公式 (6)两数和立方公式

(a?b)(a?b)?a2?b2 (a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

2

(7)两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法.

1.十字相乘法 例1 分解因式:

(1)x-3x+2; (2)6x?7x?2 (3)x2?(a?b)xy?aby2; (4)xy?1?x?y.

2.提取公因式法

例2.分解因式:

(1)a?b?5??a?5?b?

22

2(2)x?9?3x?3x

32

3.公式法

例3.分解因式: (1)?a?16 (2)?3x?2y???x?y?

422

4.分组分解法

例4.(1)x?xy?3y?3x (2)2x?xy?y?4x?5y?6 5.关于x的二次三项式ax+bx+c(a≠0)的因式分解.

若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2,则二次三项式ax?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

例5.把下列关于x的二次多项式分解因式:

22(1)x?2x?1; (2)x?4xy?4y.

22

22222 3

练习

(1)x?5x?6 (2)x2??a?1?x?a (3)x?11x?18

22(4)4m?12m?9 (5)5?7x?6x (6)12x2?xy?6y2 (7)6?2p?q??11?q?2p??3 (8)a?5ab?6ab232222 (9)4?x2?4x?2

??2(10)x?2x?1 (11)x2?y2?a2?b2?2ax?2by

(12)a?4ab?4b?6a?12b?9 (13)x-2x-1

(14) a?1; (15)4x?13x?9;

22(16)b?c?2ab?2ac?2bc; (17)3x?5xy?2y?x?9y?4

2234242222

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程 (1)根的判别式

对于一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0),有:

2

?b?b2?4ac(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根x1,2=;

2a(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根x1=x2=-(3)当Δ<0时,方程没有实数根. (2)根与系数的关系(韦达定理)

如果ax+bx+c=0(a≠0)的两根分别是x1,x2,那么x1+x2=?2

b; 2abc,x1·x2=.这一关系也被称为韦达aa定理.

2、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时,抛物线开口向上,对称轴为x??,顶点坐标为??,?。

2a4a2a??4ac?b2bbb当x??时,y随x的增大而减小;当x??时,y随x的增大而增大;当x??时,y有最小值。

2a2a2a4a 4