第一讲 数与式

1、 绝对值

（1）绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

?a,a?0,?|a|??0,a?0,

??a,a?0.?（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． （3）两个数的差的绝对值的几何意义：a?b表示在数轴上，数a和数b之间的距离． 2、绝对值不等式的解法 （1）含有绝对值的不等式

①f(x)?a(a?0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是?a?f(x)?a。 ②f(x)?a(a?0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)?a或f(x)??a。 ③f(x)?g(x)?f(x)?g(x)。 （2）利用零点分段法解含多绝对值不等式：

①找到使多个绝对值等于零的点．

②分区间讨论，去掉绝对值而解不等式．一般地n个零点把数轴分为n＋1 段进行讨论． ③将分段求得解集，再求它们的并集． 例1. 求不等式3x?5?4的解集

例2.求不等式2x?1?5的解集

例3.求不等式x?3?x?2的解集

例4.求不等式|x＋2|＋|x－1|＞3的解集．

22 1

例5.解不等式|x－1|＋|2－x|＞3－x．

例6.已知关于x的不等式|x－5|＋|x－3|＜a有解，求a的取值范围． 练习

解下列含有绝对值的不等式： （1）x?1?x?3＞4+x （2）|x+1|<|x－2| （3）|x－1|+|2x+1|<4 （4）3x?2?7 (5)5x?7?8

3、因式分解 乘法公式

（1）平方差公式 （2）完全平方公式 （3）立方和公式 （4）立方差公式 （5）三数和平方公式 （6）两数和立方公式

(a?b)(a?b)?a2?b2 (a?b)2?a2?2ab?b2 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 (a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3

(a?b?c)2?a2?b2?c2?2(ab?bc?ac)(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

2

（7）两数差立方公式 (a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3

因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．

1．十字相乘法 例1 分解因式：

（1）x－3x＋2； （2）6x?7x?2 （3）x2?(a?b)xy?aby2； （4）xy?1?x?y．

2．提取公因式法

例2.分解因式：

（1）a?b?5??a?5?b?

22

2（2）x?9?3x?3x

32

3．公式法

例3.分解因式： （1）?a?16 （2）?3x?2y???x?y?

422

4．分组分解法

例4.（1）x?xy?3y?3x （2）2x?xy?y?4x?5y?6 5．关于x的二次三项式ax+bx+c(a≠0)的因式分解．

若关于x的方程ax?bx?c?0(a?0)的两个实数根是x1、x2，则二次三项式ax?bx?c(a?0)就可分解为a(x?x1)(x?x2).

例5.把下列关于x的二次多项式分解因式：

22（1）x?2x?1； （2）x?4xy?4y．

22

22222 3

练习

（1）x?5x?6 （2）x2??a?1?x?a （3）x?11x?18

22（4）4m?12m?9 （5）5?7x?6x （6）12x2?xy?6y2 （7）6?2p?q??11?q?2p??3 （8）a?5ab?6ab232222 （9）4?x2?4x?2

??2（10）x?2x?1 （11）x2?y2?a2?b2?2ax?2by

（12）a?4ab?4b?6a?12b?9 (13)x－2x－1

（14） a?1； （15）4x?13x?9；

22（16）b?c?2ab?2ac?2bc； （17）3x?5xy?2y?x?9y?4

2234242222

第二讲 一元二次方程与二次函数的关系

1、一元二次方程 (1)根的判别式

对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），有:

2

?b?b2?4ac（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x1，2＝；

2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x1＝x2＝－（3）当Δ＜0时，方程没有实数根． (2)根与系数的关系（韦达定理）

如果ax＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝?2

b； 2abc，x1·x2＝．这一关系也被称为韦达aa定理．

2、二次函数y?ax2?bx?c的性质

?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?。

2a4a2a??4ac?b2bbb当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最小值。

2a2a2a4a 4