∴OC⊥PC， ∴PC是⊙O的切线．

【总结归纳】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线是本题的关键．

24．（14分）如图，抛物线C1：y＝x2﹣2x与抛物线C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，它们相交于O，C两点，且分别与x轴的正半轴交于点B，点A，OA＝2OB． （1）求抛物线C2的解析式；

（2）在抛物线C2的对称轴上是否存在点P，使PA+PC的值最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，说明理由；

（3）M是直线OC上方抛物线C2上的一个动点，连接MO，MC，M运动到什么位置时，△MOC面积最大？并求出最大面积．

【知识考点】二次函数综合题．

【思路分析】（1）C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1，将点A的坐标代入C2的表达式，即可求解；

（2）作点C关于C1对称轴的对称点C′（﹣1，3），连接AC′交函数C2的对称轴与点P，此时PA+PC的值最小，即可求解； （3）S△MOC＝

MH×xC＝

（﹣x2+4x﹣x）＝﹣

x2+

，即可求解．

【解题过程】解：（1）令：y＝x2﹣2x＝0，则x＝0或2，即点B（2，0）， ∵C1、C2：y＝ax2+bx开口大小相同、方向相反，则a＝﹣1， 则点A（4，0），将点A的坐标代入C2的表达式得： 0＝﹣16+4b，解得：b＝4，

故抛物线C2的解析式为：y＝﹣x2+4x； （2）联立C1、C2表达式并解得：x＝0或3， 故点C（3，3），

作点C关于C2对称轴的对称点C′（1，3）， 连接AC′交函数C2的对称轴与点P，

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此时PA+PC的值最小为：线段AC′的长度＝3（3）直线OC的表达式为：y＝x， 过点M作y轴的平行线交OC于点H，

；

设点M（x，﹣x2+4x），则点H（x，x）， 则S△MOC＝∵﹣

MH×xC＝

， ．

（﹣x2+4x﹣x）＝﹣

x2+

x，

＜0，故x＝

S△MOC最大值为

【总结归纳】此题考查了待定系数法求解析式，还考查了三角形的面积，要注意将三角形分解成两个三角形求解；还要注意求最大值可以借助于二次函数．

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