在近地点、远地点时离地心的距离，由上两式可知 v1?2GmEr2r1?r1?r2??8.11?10m?s3?1

v2?6.31?103m?s?1

4-18 质量为0.5kg，长为0.40m的均匀细棒，可绕垂直于棒的一端水平轴转动。若将此棒放在水平位置，然后任其落下，求：（1）当棒转过60?时的角加速度和角速度；（2）下落到竖直位置时的动能；（3）下落到竖直位置时的角速度。 解 （1）棒受到重力对它的力矩随着转动的角度变化而变化，当转过?角时，由转动定律可得 M?J??mg??clos其中J?ml2l 60 ??2

P 3为棒对轴的转动惯量。所以当棒转过?时

P 的角加速度为 ??又角加速度??d?d???3gcos?2l??

，两边积分得

d?dtd?d???0?d???0?d?

??3gsin?l ?所以当棒转过60时，角加速度为???3gcos602l?18.4s?2

角速度为 ??3gsin60?1?7.98s l?（2）细棒下落过程满足机械能守恒，则当它下落到竖直位置时的动能为

Ek?12mgl?0.98J

12J?

2（3）细棒转动的动能可表示为Ek?所以在竖直位置时的角速度为

??2EkJ?8.57s

?1

4-19 如图所示，A与B两飞轮的轴杆可由摩擦啮合器使之连接，A轮的转动惯量J1?10.0kg?m2，开始时B轮静止，A轮以n1?600r?min?1的转速转动，然后使A与B连接，因而B轮得到加速而A轮减速，直到两轮的转速都等于

n?200r?min?1为止，求：（1）B轮的转动惯量；

A

B

（2）在啮合过程中损失的机械能。

解 （1） 将A与B看作一个系统，在达到共同转速的过程中，系统所受的外力矩为零，满足角

动量守恒，则有

JA?A??JA?JB??

? 其中?A?2?n1，??2?n代入上式得B轮的转动惯量为

JB??A???（2）在啮合过程中损失的机械能为

?E?12JA?A?2JA?20.0kg?m

212?JA?JB??2?1.32?10J

4

4-20 在题3-20的冲击摆问题中，若以质量为m?的均匀细棒代替柔绳，子弹速度的最小值应是多少？

解 细棒代替绳子后，细棒与摆锤组成一个整体，子弹穿过摆锤的过程中，由子弹、细棒、摆锤组成的系统满足角动量守恒

?v??v?J???J???J??? （1） ?l??2l?l m? v 其中J?ml为子弹对转轴的转动惯量， J????12m v2 22?m?l?m?l?为细棒与摆锤相对转轴的转动惯量，摆锤与细棒整体获得角?3?动量??开始绕轴转动，转动过程满足机械能守恒，设摆锤在最高点的角速度为?h，

12J????m?g2l2?12J??h?m?g23l2?m?g?2l? （2）

要使摆锤能完成一个圆周运动，则摆锤在最高点的角速度必须满足

?h?0 （3）

由（1）（2）（3）可得子弹速度的最小值为

v?4m?m2gl

4-21 如图所示，在光滑的水平面上有一轻质弹簧（其劲度系数为k），它的一端固定，另一端系一质量为m?的滑块，最初滑块静止时，弹簧成自然长度l0，今有一质量为m的子弹以速度v0沿水平方向并垂直于弹簧轴线射向滑块且留在其中，滑块在水平面内滑动，当弹簧被拉伸至长度l时，求滑块速度的大小和方向。

解 子弹射入滑块过程满足动量守恒，设二者达到的共同速度为v1，则有

mv0??m??m?v1

O l v2 v0 ? 随后子弹与木块受弹簧弹力作用，取弹簧、木块和子弹为一系统，满足机械能守恒，设弹簧伸长至l时滑块的速度为v2，其方向与弹簧方向的夹角为?（如图所示），则

12?m??m?v12?12?m??m?v22?12k?l?l0?

2又子弹与木块所受的弹力为有心力，所以满足角动量守恒，

l0?m??m?v1?l?m??m?v2sin?

由以上三式可得

v2??m?2k?l?l0? ??v0???m?mm?m??22??mv0l0??arcsin?l?m??m?????m?2k?l?l?202?v0???m??m??m??m?????????12??? ??