作用时间为?t，达到相同的线速度时轮I、II的角速度分别为?1、?2，则由角动量定理有

?Fr1?t?J1??1??0?

Fr2?t?J2?2

又 r1?1?r? 22由以上三式可得，两轮啮合后的角速度分别为

?1?J1?0r2222J1r2?J2r1

?2?J1?0r1r2Jr?J2r12122

4-12 一质量为20.0kg的小孩，站在一半径为3.00m，转动惯量为450kg?m2的静止水平转台边缘上，此转台可绕通过转台中心的竖直轴转动，转台与轴间的摩擦力不计，如果此小孩相对转台以1.00m?s?1的速度沿转台边缘行走，问转台的角速率有多大？

解 考虑小孩与转台组成的系统，系统所受外力矩为零，满足角动量守恒。小孩相对转台的角速率为?0?vR，设转台对地绕轴的角速率为??，二者方向相反，由相对运动可知，小孩相对于地面绕轴的角速度为

???0????vR??? （1）

v ??

由角动量守恒

J????J? （2）

其中J?为转台对轴的转动惯量，J?mR为人绕轴的转动惯量 由（1）（2）式可得，转台的角速率为

???mRvJ??mR22?9.52?10s?2?1

?14-13 一转台绕其中心的竖直轴以角速度?0??s转动，转台对转轴的转动惯

量为J0?4.0?10?3kg?m2，今有砂粒以Q?2tg?s?1的流量竖直落至转台，并粘附于台面形成一圆环，若环的半径为r?0.10m，求砂粒下落t?10s时，转台的角速度。

解 将转台与落到转台上的砂粒看作一个系统，砂粒下落时，转台不受力矩作用，系统在转动过程中角动量守恒。

转动过程中，随着砂粒的下落，系统的转动惯量不断变化，设t时刻落到转台上砂粒的质量m，转台的角速度为?，由角动量守恒得

J0?0??J0?mr2??

由上式可得，t时刻转台的角速度为

??J0?0J0?mr2 （1）

10s由题意可知，当t?10s落在转台上的砂粒的质量为m?代入数据到（1）式可得

??0.8?s?1?0Qdt?0.10kg

4-14 一质量为m?半径为R的转台，以角速度?a转动，转轴的摩擦略去不计，（1）有一质量为m的蜘蛛垂直的落在转台的边缘上，此时，转台的角速度?b为多少？（2）若蜘蛛随后慢慢的爬向转台中心，当它离转台中心的距离为r时，转台的角速度?c为多少？设蜘蛛下落前距离转台很近。

解 （1） 考虑转台与蜘蛛组成的系统，蜘蛛下落系统不受外力矩作用，由角动量守恒，

J0?a??J0?J1??b

其中J0?12m?R为转台自身对转轴的转动惯量，J1?mR为蜘蛛刚落到转台边缘

22时对转轴的转动惯量。由上可得 ?? ?bJ0?a?m?m??2m?J0?J1??a

（2）蜘蛛慢慢的爬向转台中心的过程中，系统仍不受外力矩作用，满足角动量

2守恒，当蜘蛛离转台中心的距离为r时，蜘蛛对转轴的转动惯量变为J2?mr，由

角动量守恒

J0?a?所以 ?c?

4-15 一质量为1.12kg，长为1.0m的均匀细棒，支点在棒的上端点，开始时棒自由悬挂，当以100N的力打击它的下端点，打击时间为0.02s时，（1）若打击前棒是静止的，求打击时其角动量的变化；（2）求棒的最大偏转角。

解 （1）外力打击细棒的过程中，细棒受到外力矩的角冲量，棒获得一定的角动量开始转动，由角动量定理得，打击前后细棒角动量变化为

?L?? ?J0?J?2? c?m?R222J0?a?J0?J2?m?R?2mr?a

?t0Mdt?Fl?t?2.0kg?m?s

2?1l F

（2）由（1）可知，细棒受到角冲量而获得的角速度为

?LJ0?Lml2?0??3

随后细棒开始转动，此过程中只有重力做功，取细棒与地球为系统，设细棒的最大偏转角为?，由机械能守恒可得

12J0?0??212mgl?1?cos??

所以 ??8838?

4-16 （1）设氢原子中电子在圆形轨道中以速率v绕质子运动，作用在电子上的向心力为电作用力，其大小为e24??0r，其中e为电子、质子的电量，r为轨

2道半径，?0为恒量，试证轨道半径为r?e224??0mv

（2）假设电子绕核的角动量只能为h2?的整数倍，其中h为普朗克恒量，试证电子的可能轨道半径由下式确定： r?nh2?mv

（3）试由以上两式消去v，从而证明符合这两个要求的轨道半径必须满足以下关系：

r?n?0h22?me2

式中n可取正整数1，2，3…

证明 （1）由题意可知，电子绕质子做圆周运动的向心力为电作用力，则有

mvr2?e224??0r

由上式可得电子轨道半径为 r?e224??0mv （1）

（2） 由题设知，电子绕核运动的角动量只能为h2?的整数倍，则有

rmv?nh2? （n为正整数）

所以 r?（3）由（2）得v?nhnh2?mv （2）

2?mr2代入（1）式有

2r?n?0h?me2

其中n为正整数。

4-17 我国1970年4月24日发射的第一颗人造卫星，其近地点为4.39?10m，远地点为2.38?10m. 试计算卫星在近地点和远地点的速率。（设地球半径为

6.38?10m）

665解 人造卫星在向心力作用下运动，在近地点到远地点，由角动量守恒得

? r1mv1rm v22又地球与卫星组成的系统满足机械能守恒，

12mv1?G2mmEr1?12mv2?G2mmEr2

上式中G为万有引力常量，m与mE分别为卫星与地球的质量，r1与r2分别为卫星