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解直角三角形典型例题

例1、在?ABC中, ?C = 90?, sinA?2, 求ctgB。 35a, 由三角函数的

解: 方法一, 设?A对边BC = 2a, 斜边AB为3a, 由勾股定理, AC =

BC2a2,即ctgB??5 。 AC55a定义, ctgB?

方法二;

52?2?∵sinA?, 由同角三角函数关系式, sin2A?cos2A?1, 得cosA?1????,

?3?3322sinA2?3?5。又∵?A与?B互为余角, ∴sinA = cosB, tgA = ctgB, ∴ctgB = 则tgA?cosA553tgA =

25。 5说明: 当直角三角形中已知一个三角函数求其它三角函数值时, 用小三角形法, 即方法

一是比较简单的, 因为三角函数的定义是比值, 因此可设一份为一个常量, 设出比值, 再去计算。用同角三角函数关系式计算也应当会, 只是计算起来麻烦一些。

例3、在?ABC中, ?C = 90?, a?15,b?35, 求?A及S?ABC。 解: ∵?C = 90?, a?15,b?35

15353, 又∵?A为锐角, ∴?A = 30?, 3

例2、在?ABC中, ?C = 90?, tgA?12,?ABC的周长为45cm, 求BC的长。 5解: 设BC = 12x, AC = 5x, 则AB = 13x, 则题意, 12x + 5x + 13x = 45cm, 30x = 45,

33∴x = , ∴BC = 12??18(cm)

22 ∴tgA??

∴S?ABC?1115ab??15?35?3。 222说明: 当已知边求角时, 可利用三角函数的定义, 这里已知两直角边, 可以求锐角的正

例4、求值: cos237??tg15?·ctg15??tg48??cos253??ctg42??tg45?

分析: 所给的三角函数中, 只有45?的三角函数是特殊角的三角函数值, 其它都不是特

切或余切值, 再去求角。

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殊的三角函数值, 应当分析这些三角函数值之间的关系, 由分析可以看出37?与53?角互为余角, 因为互为余角的余函数相等, 因此tg48?与ctg42?也相等, 再进行计算就可以了。

解：cos237??tg15?·ctg15??tg48??cos253??ctg42??tg45??cos237??cos253??tg15?·ctg15??tg48??ctg42??tg45?

?cos237??sin237??tg15?·ctg15??tg48??tg48??tg45? ?1?1?1?3 说明: 互为余角余函数相等的结论, 可用于角的转化, 通过转化, 才能找到解题的思路,

才能找到解决问题的突破口, 这也是提高自己解题能力的一个重要方面。因此运用数学思想解决数学问题应当自觉的去做。

例5、在?ABC中, ?ACB = 90?, AB = 6, CD?AB于D, 分析: 由已知, ?ACB = 90?, CD?AB于D, 这在几何中

AD = 2, 求?A的正弦值。

是个很典型的几何图形, 这个图形中, 有?ACD∽?CDB,

?ACD∽?ACB, ?CDB∽?ACB, 还有?BCD = ?A, ?ACD = ?B等, 因此求?A的正弦值,

可以用角的代换, 即求?BCD的正弦, 或通过相似求边再求?A的正弦。

例6、已知a = sin20?, b = sin40?, 则下列正确的是 A．2a < 1 <2b C．1 > 2a > 2b

B．2a > 1 > 2b D．1 < 2a < 2b

解: 方法一, ∵?ACB = 90?, CD?AB于D,

∴?ACD∽?ABC, AC2 = AD·AB, AC2 = 2×6, AC?23, ∴CD?∴sinA???232?22?12?4?22

CD226??。 AC233方法二, ?A与?BCD同为?ACD的余角, ∴?A = ?BCD

∵BD = 6－2 = 4, ?BCD∽?ABC, BC2 = 4×6, BC = 26。 ∴sinA?sin?BCD?BD46??。 BC263分析: 从已知出发思考不太好想, 但换个角度, 从结论出发去想, 看a、b间的联系, 将1111各项除以2, 结论为A、a??b, B、a??b, C、?a?b, D、?a?b。因为a = sin20?,

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b = sin40?, 因此

1可想成sin30?, 由正弦函数当角从0?到90?间是函数随角的增加而增加, 21?sin40?, ∴2a < 1 2从而确定要选定的结果。

解: 由正弦函数的增减性, 得sin20??sin30??sin40?, 即sin20??< 2b

应选A。

说明: 思考问题的方法, 可以从已知去想, 也可以从结论倒推去想, 只有不断变化转化

例7、等腰三角形两边长分别为10, 13, 求底角的余弦。

分析: 等腰三角形两边长为10, 13, 没有具体指明是腰还是底, 通过分析, 10可以做腰,

各种思考问题的方式, 才不会死板的解决问题, 而变得更加灵活了。

10也可以做底, 这样区分两种情况分别求底角的余弦, 辅助线可以做底边上的高, 这样就构造出直角三角形了。

解: 情况一, 若腰为10, 底为13, 做底边上的高后, 将底边分为各为6.5的两部分。

65.设底角为?,则cos???0.65。

10若情况二, 腰为13, 底为10, 做底边上的高以后, 将底边分为各为5的两部分, 则底角

5余弦为cos??。

13

说明: 由于题目中所给的条件不明确, 所以应当分两种情况进行讨论, 分类讨论的思想, 有关等腰三角形的问题, 底边上的高是常加的辅助线之一, 因为等腰三角形底边上的高也是很重要的一种数学思想, 它要求我们思考问题应当全面, 不可以重复也不可以漏掉。 也是底边的中线, 也是顶角的平分线, 这样可以把等腰三角形的问题转化为直角三角形的问题去解决。

例8、从1.5米高的侧高仪上, 测得塔顶仰角为45?, 向分析: 由实际测量问题画出示意图, 即已知?ABC = 45?,

塔前进10米, 又测得塔顶仰角为60?, 求塔高。

? ADC = 60?, BD = 10, ?ACB = 90?, 塔高即AC + CE, CE为1.5米,

解: 设AC为x, ∵?ABC = 45?, ∴AC = BC = x, 又∵?ADC = 60?, ctg60??3x 33x?10 3DC, ∴xDC?

由题意x?

?3???10 x?1?3??人教版-数学-九年级下册-打印版

∴x?15?53

∴AE?15?53?15.?165.?53

答: 塔高为165.?53米。

??例9、我国领海权12海里, 在东西方向平直海岸线上相距18.9海里有A、B两个雷达站,

同时测得一外国军舰K, K在A的北偏东30?, K在B的北偏西45?, 问是否要向敌军舰发出警告？

?。 3?1732.?分析: 由题意画出示意图, 求出K到AB的距离, 再根据解: 做KC?AB于C, 设KC为x, 则BC = KC = x, 在

AC3,AC?x, ∴x3题意确定。

Rt?ACK中, ?KAC = 60?, ctg60??3x?x?18.9,解得x?1198. 3

答: K与AB距离小于12, 应当发警告。

例10、四边形ABCD中, AB = BC, AD = 7, ?D = ?B = 90?, 分析: 为了利用tgA = 2的条件, 可延长AD、BC交于一点解: 延长AD, BC交于H, 设CD为x, ?A = ?HCD, tgA = 2,

tgA = 2, 求CD长。 H, 构造为直角三角形。

则DH = 2x, ∴HC =5x, ∴HB = 25x,AB?5x

由题意

?5x???25x?22??7?2x?

2解得x?

7 3

答: CD长为

7。 3说明: 这里为充分利用题目所给条件, 将原来图形扩形为新的直角三角形。