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K1?CmRaK2?Rafm?CmCe Rafm?CmCe 电动机传递系数
如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小而忽略不计时 ⑥还可进一步简化为
Ce?m(t)?Ua(t) ⑦
电动机的转速Wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比，于是 电动机可作为测速发电机使用。
系统最基本的数学模型是它的微分方程式。建立微分方程的步骤如下： ①确定系统的输入量和输出量
②将系统划分为若干环节，从输入端开始，按信号传递的顺序，依据各变量所遵循的物理学定律，列出各环节的线性化原始方程。
③消去中间变量，写出仅包含输入、输出变量的微分方程式。
2.1.2 线性微分方程的求解
初条列出方程求解方程输入量求解微分方程
2.1.3 非线性元件微分方程的线性化
具有连续变化的非线性函数的线性化，可用切线法或小偏差法。在一个小范围内，将非线性特性用一断直线来代替。（分段定常系统） ·一个变量的非线性函数 y=f(x)
在x0处连续可微，则可将它在该点附件用台劳级数展开
y?f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)?增量较小时略去其高次幂项，则有
1''f(x0)(x?x0)2???????2!
y?y0?f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)
Δy=kΔx 比例系数，函数在x0点切线的斜率
·两个变量的非线性函数
y=f(x1,x2)，同样可在某工作点（x10,x20）附件用台劳级数展开为
?f(x10,x20)?f(x10,x20)(x1?x10)?(x2?x20)]?x1?x21?2f(x10,x20)?f(x10,x20)2?[(x1?x10)?2(x?x10)(x?x20)2!?x1?x2?x12?2f(x10,x20)2?(x1?x20)]???????2?x2 y?f(x1,x2)?f(x10,x20)?[平顶山学院教案
略去二级以上导数项，并令Δy＝y-f(x10,x20)
Δx1=x-x10 Δx2=x-x20
?y??f(x10,x20)?f(x10,x20)?x1??x2?K1?x1?K2?x2?x10?x2
这种小偏差线性化方法对于控制系统大多数工作状态是可行的，平衡点附近，偏差一般不会
很大，都是“小偏差点”。
例2-4 试把非线性方程 z=xy 在区域5≤x≤7、10≤y≤12上线性化。求用线性化方程来计算当x=5，y=10时z值所产生的误差。
解： 由于研究的区域为5≤x≤7、10≤y≤12，故选择工作点x0=6，y0=11。于是z0=x0y0 =6×11=66.
求在点x0=6，y0=11，z0=66附近非线性方程的线性化表达式。将非线性方程在点x0,y0,z0处展开成泰勒级数，并忽略其高阶项，则有
z-z0=a(x-x0)+b(y-y0) 式中 ? z ? y 0 ? 11 a ? x ? x 0 ? x y ? y 0
b ? ? z ? y x ? x 0 y ? y 0 ? x 0 ? 6
因此，线性化方程式为：
z-66=11(x-6)+6(y-11) z=11x+6y-66
当x=5,y=10时，z的精确值为z=xy=5×10=50
由线性化方程求得的z值为z=11x+6y=55+60-66=49
1?2P因此，误差为50-49=1，表示成百分数
【自学内容】 预习第二节。
第二节 控制系统的复域数学模型
【教学目的】
1．掌握传递函数的定义和求法。 2．熟悉典型环节及其传递函数。 【教学重点】 1．传递函数
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在零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比称为传递函数。传递函数的概念适用于线性定常单输入、单输出系统。求传递函数通常有两种方法：对系统的微分方程取拉氏变换，或化简系统的动态方框图。对于由电阻、电感、电容元件组成的电气网络，一般采用运算阻抗的方法求传递函数。
2动态方框图的变换与化简
化简方框图是求传递函数的常用方法。对方框图进行变换和化简时要遵循等效原则：对任一环节进行变换时，变换前后该环节的输人量、输出量及其相互关系应保持不变。化简方框图的主要方法就是将串联环节、并联环节和基本反馈环节用一个等效环节代替。化简方框图的关键是解除交叉结构，即移动分支点或相加点，使被简化的环节中不存在与外部直接相连的分支点和相加点。 【教学难点】
非线性函数线性化。 【教学方法及手段】
通过课堂授课讲解几个典型例题使学生对概念能够理解，建立传递函数的概念，并会求解传递函数。 【课外作业】
习题2-9，2-10。 【学时分配】
2课时。 【教学内容】
2.2 控制系统的复域数学模型 2.2.1 传递函数
是在用拉氏变换求解线性常微分方程的过程中引申出来的概念。
微分方程是在时域中描述系统动态性能的数学模型，在给定外作用和初使条件下，解微分方程可以得到系统的输出响应。系统结构和参数变化是分析较麻烦。
用拉氏变化法求结微分方程时，可以得到控制系统在复数域的数学模型－传递函数。 定义：线性定常系统的传递函数，定义为零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比。
设线性定常系统由下述n阶线性常微分方程描述：
dndn?1da0nc(t)?a1n?1c(t)?????an?1c(t)?anc(t)dtdtdtdmdm?1d?b0mr(t)?b1m?1r(t)?????bm?1r(t)?bmr(t)dtdtdt
式中c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，
ai(i?1,2,3,???,n)和bj(j?1,2,???,m)是
与系统结构和参数有关的常系数。
设r(t)和c(t)及其各阶系数在t=0是的值均为零，即零初始条件，则对上式中各项分别求拉氏变换，并令c(s)＝L[c(t)]，R(s)=L[r(t)]，可得s的代数方程为：
[a0sn?a1sn?1?????an?1s?an]C(s)?[b0sm?b1sm?1?????bm?1s?am]R(s)
于是，由定义得系统传递函数为：
C(s)b0sm?b1sm?1?????bm?1s?bmM(s)G(s)???nn?1R(s)a0s?a1s?????an?1s?anN(s)
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mm?1M(s)?bs?bs?????bm?1s?bm 01式中
N(s)?a0sn?a1sn?1?????an?1s?an
Xc(s)Uc(s)X(s)和Ur(s)
例5 求例2机械系统与电路系统的传递函数r(B1?B2)Xc?(K1?K2)Xc?B1Xc?K1Xr
??(B1?B2)sXc(s)?(K1?K2)Xc(s)?B1sXr(s)?K1Xr(s)
Xc(s)B1s?K1?Xr(s)(B1?B2)s?K1?K2
?111(R1?R2)Uc?(?)Uc?R1Ur?Ur
C1C2C1?(R1?R2)SUc(s)?(
111?)Uc(s)?R1SUr(s)?Ur(s) C1C2C1R1S?1Uc(s)C1?
11Ur(s)(R1?R2)S?(?)C1C2性质1 传递函数是复变量s的有理真分式函数，m≤n，且所具有复变量函数的所有性质。
性质2 G(s)取决于系统或元件的结构和参数，与输入量的形式（幅度与大小）无关。
性质3 G(s)虽然描述了输出与输入之间的关系，但它不提供任何该系统的物理结构。因为许多不同的物理系统具有完全相同的传递函数。
性质4 如果G(s)已知，那么可以研究系统在各种输入信号作用下的输出响应。 性质5 如果系统的G(s)未知，可以给系统加上已知的输入，研究其输出，从而得出传递函数，一旦建立G(s)可以给出该系统动态特性的完整描述，与其它物理描述不同。
数学模型 是（表示）输出变量和输入变量微分方程的运算模型（operational mode）
性质6 传递函数与微分方程之间有关系。
G(s)?C(s) R(s)d置换 传递函数?微分方程 dt性质7 传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)
如果将S?