答案：分法有无数种．只要保持两条小路互相垂直，并且都过正方形的中心即可．

复习题18

1、选择题．

（1）若平行四边形中两个内角的度数比为1︰2，则其中较小的内角是（ ）． A．90° B．60° C．120° D．45°

（2）若菱形的周长为8，高为1，则菱形两邻角的度数比为（ ）． A．3︰1 B．4︰1 C．5︰1 D．6︰1

（3）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，则∠AEB为（ ）

A．10° B．15° C．20° 答案：（1）B；（2）C；（3）B．

2、如图，将□ABCD的对角线BD向两个方向延长，分别至点E和点F，且使BE=DF．求证：四边形AECF是平行四边形．

D．125°

答案：提示：连接AC，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形．

3、矩形对角线组成的对顶角中，有一组是两个50°的角．对角线与各边组成的角是多少度？

答案：65°和25°．

4、如图，你能用一根绳子检查一个书架的侧边是否和上、下底都垂直吗？为什么？

答案：可以．通过测量对边以及对角线是否分别相等来检验．

5、如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，CE∥BD．求证：四边形OCED是菱形．

答案：提示：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

6、如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点．四边形EFGH是什么四边形？为什么？

答案：正方形．提示：证明四边形EFGH四边相等、四个角都是直角．

7、如图，四边形ABCD是平行四边形，BE∥DF，且分别交对角线AC于点E，F，连接ED，BF．求证∠1=∠2．

答案：由△ABE≌△CDF，可知BE=DF．又BE∥DF，所以四边形BFDE是平行四边形．所以DE∥BF，从而∠1=∠2．

8、如图，ABCD是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且DE=CF．要修建两条路BE和AF，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？

答案：由△ABE≌△DAF可知，BE和AF等长，并且互相垂直．

9、我们把顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形． （1）任意四边形的中点四边形是什么形状？为什么？ （2）任意平行四边形的中点四边形是什么形状？为什么？

（3）任意矩形、菱形和正方形的中点四边形分别是什么形状？为什么？ 答案：（1）平行四边形，利用三角形中位线定理可证一组对边平行且相等，或两组对边分别平行；（2）平行四边形；（3）菱形、矩形、正方形．

10、如果一个四边形是轴对称图形，并且有两条互相垂直的对称轴，它一定是菱形吗？一定是正方形吗？

答案：一定是菱形，不一定是正方形．

11、用纸板剪成的两个全等三角形能够拼成什么四边形？要想拼成一个矩形，需要两个什么样的全等三角形？要想拼成菱形或正方形呢？动手剪拼一下，并说明理由．

答案：平行四边形；要拼成一个矩形，需要两个全等的直角三角形；要拼成一个菱形，需要两个全等的等腰三角形；要拼成一个正方形，需要两个全等的等腰直角三角形．

12、如图，过□ABCD的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．

答案：菱形．提示：先证明△AOE≌△COG，△AOH≌△COF，可得OE=OG，OF=OH，所以四边形EFGH是平行四边形．又EG⊥FH，从而□EFGH是菱形．

13、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，使PQ∥CD和PQ=CD，分别需经过多少时间？为什么？

答案：6s；6s或7s．提示：设经过t s，四边形PQCD成为平行四边形，根据PD=QC，可列方程24－t=3t，解得t=6．若PQ=CD，则四边形PQCD为平行四边形或梯形（腰相等），为平行四边形时有t=6；为梯形（腰相等）时，有QC=PD＋2（BC－AD），可列方程3t=24－t＋4，解得t=7．

14、如图，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．求证AE=EF．

答案：提示：证明△AGE≌△ECF．

15、求证：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．

答案：提示：如图，在□ABCD中，设AD=a，AB=b，BD=m，AC=n，DE=h，AE=x，则分别有h2=a2－x2①，h2=n2－（b＋x）2②，h2=m2－（b－x）2③，由①×2=②＋③，化简