第2节 排列与组合
考试要求 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
知 识 梳 理
1.排列与组合的概念
名称 排列 组合 2.排列数与组合数
(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.
(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 3.排列数、组合数的公式及性质
定义 从n个不同元素中取出 按照一定的顺序排成一列 合成一组 m(m≤n)个不同元素 n！m(1)An＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝. （n－m）！公式 Ann（n－1）（n－2）…（n－m＋1）(2)C＝m＝ Amm！mnm＝n！*0(n，m∈N，且m≤n).特别地Cn＝1 m！（n－m）！n(1)0！＝1；An＝n！. 性质 [微点提醒]
1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.
2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.
基 础 自 测
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
1
(2)Cn＝Cn；Cn＋1＝Cn＋Cn mn－mmmm－1(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ) (3)若组合式Cn＝Cn，则x＝m成立.( ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( ) (5)kCn＝nCn－1.( )
解析 (1)元素相同但顺序不同的排列是不同的排列，故(1)错；(2)一个组合中取出的元素不讲究顺序，元素相同即为同一组合，故(2)错；(3)若Cn＝Cn，则x＝m或n－m，故(3)错. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√
2.(选修2－3P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( ) A.12
B.24
C.64
D.81
3
xmkk－1
xm解析 4本不同的课外读物选3本分给3位同学，每人一本，则不同的分配方法种数为A4＝24. 答案 B
3.(选修2－3P26知识改编)计算C7＋C7＋C8＋C9的值为________(用数字作答). 解析 原式＝C8＋C8＋C9＝C9＋C9＝C10＝C10＝210. 答案 210
4.(2019·济宁质检)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A.144
B.120
C.72
D.24
4
5
6
5
6
6
4
3
4
5
6
解析 “插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A4＝4×3×2＝24. 答案 D
5.(一题多解)(2018·全国Ⅰ卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析 法一 可分两种情况：第一种情况，只有1位女生入选，不同的选法有C2C4＝12种；第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有C2C4＝4种.根据分类加法计数原理知，至少有1位女生入选的不同的选法有12＋4＝16种.
法二 从6人中任选3人，不同的选法有C6＝20种，从6人中任选3人都是男生，不同的
2
3
21
12
3
选法有C4＝4种，所以至少有1位女生入选的不同的选法有20－4＝16种. 答案 16
6.(2018·浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成________个没有重复数字的四位数(用数字作答).
解析 若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C5C3A4；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C5C3C3A3.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C5C3A4＋C5C3C3A3＝720＋540＝1 260. 答案 1 260
考点一 排列问题
【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. (1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人； (3)全体排成一排，女生必须站在一起； (4)全体排成一排，男生互不相邻；
(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边； (6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边. 解 (1)从7人中选5人排列，有A7＝7×6×5×4×3＝2 520(种).
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A7种方法，余下4人站后排，有A4种方法，共有A7·A4＝5 040(种).
(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A4种方法，再将女生全排列，有A4种方法，共有A4·A4＝576(种).
(4)(插空法)先排女生，有A4种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A5种方法，共有A4·A5＝1 440(种).
(5)法一 (特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A6种排列方法，共有5×A6＝3 600(种).
法二 (特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A6种排法，其他有A5种排法，共有A6A5＝3 600(种).
(6)法一 (特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A6种方法；甲不在最右边时，
6
25
2
5
6
6
3
4
34
4
4
4
4
3
4
3
4
5
224
2113
2113
224
3
3
可从余下的5个位置任选一个，有A5种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A5种，其余人全排列，只有A5种不同排法，共有A6＋A5A5A5＝3 720.
法二 (间接法)7名学生全排列，只有A7种方法，其中甲在最左边时，有A6种方法，乙在最右边时，有A6种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A5种方法，故共有A7－2A6＋A5＝3 720(种).
规律方法 排列应用问题的分类与解法
(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.
【训练1】 (2019·天津和平区二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( ) A.120
B.240
C.360
D.480
7
6
5
6
5
7
6
1
5
6
115
1
解析 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3×4×5×6＝360种方法. 答案 C
考点二 组合问题
【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.
(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？ (2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？ (5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解 (1)从余下的34种商品中，选取2种有C34＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.
4
2