3.菱 形

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理解并掌握菱形的性质及判别方法，会利用菱形的性质和判别方法进行推理说明和有关计算. 一、选择题

1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A.对角相等 B.对边相等 C.对角线互相垂直 D.对角线相等 2.能够判别一个四边形是菱形的条件是（ ） A.对角线相等且互相平分 B.对角线互相垂直且相等 C.对角线互相平分

D.一组对角相等且一条对角线平分这组对角

3.菱形的周长为100 cm，一条对角线长为14 cm，它的面积是（ ）

A.168 cm2 B.336 cm2 C.672 cm2 D.84 cm2 4.菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A.43

B.83

C.103

D.123

5.下列语句中，错误的是（ ）

A.菱形是轴对称图形，它有两条对称轴 B.菱形的两组对边可以通过平移而相互得到 C.菱形的两组对边可以通过旋转而相互得到 D.菱形的相邻两边可以通过旋转而相互得到 二、填空题

6.菱形的周长是8 cm，则菱形的一边长是______.

7.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______. 8.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.

9.菱形的面积为24 cm2，一对角线长为6 cm，则另一对角线长为______，边长为______. 10.菱形的面积为83平方厘米，两条对角线的比为1∶3,那么菱形的边长为_______. 三、解答题

11.如图，AD是△ABC的角平分线.DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F.四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由.

12.□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？为什么？

13.菱形ABCD的周长为20 cm，两条对角线的比为3∶4，求菱形的面积.

14.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AC=16 cm，BD=12 cm，求菱形ABCD的高DH.

参考答案1

（1）一组邻边相等的平行四边形，如下图：ABCD是菱形 （2）如右图：ABCD是一组邻边相等（AB=AD）的平行四边形 ∵ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AD=BC 又∵AB=AD

∴AB=BC=CD=AD，即菱形的四条边都相等 连结AC、BD

∵AB∥CD,AD∥BC ∴∠1=∠2,∠3=∠4 又∵AD=CD,∴∠1=∠4

∴∠1=∠3=∠2=∠4,即AC是∠DAB，∠DCB的平分线.同理可证BD是∠ADC和∠ABC的平分线

∴菱形的对角线平分每一组对角. ∵平行四边形ABCD中AB∥CD ∴∠CDA+∠DAB=180°

又由前面证得∠1=∠2，∠CDB=∠ADB ∴∠4+∠ADB=

11(∠DAB+∠CDA)=×180°=90° 22∴在△AOD中∠AOD=180°－(∠4+∠ADB)=90°

∴AC⊥BD,即菱形的对角线互相垂直

在△AOD和△AOB中，AB=AD，∠2=∠4，AO=AO ∴△AOD≌△AOB，∴OD=OB 同理可证OA=OC

所以菱形的对角线垂直且平分 （3）略

参考答案2

一、1.B 2.B 3.B 4.C 5.C 二、1.× 2.× 3.× 4.√

三、1.60°，120°，60°，120° 2.分别为a 4a

24 cm 24 cm2 5.10 103 5四、证明：∵DE∥AC,DF∥BC ∴四边形DECF为平行四边形 ∠2=∠3 又∵∠1=∠2 ∴∠1=∠3 ∴DE=EC

∴DECF为菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形) 五、解：过E作EF∥AB交BC于F ∵ABCD，∴AD∥BC ∴ABFE是平行四边形 ∴EF=AB,∠1=∠3

又∵∠2=∠1,∴∠2=∠3 ∴BF=FE,同理：EF=FC ∴F为BC的中点.

又BE、CE为∠ABC、∠DCF的平分线 AB∥CD，∴∠EBC+∠ECB=90°

1∴∠BEC=90°,∴EF=BC=AB

2∴AB=CD=2,AD=BC=2AB=4

参考答案3

一、1.C 2.D 3.B 4.B 5.D

二、6. 2 cm 7. 44厘米 8. 176 cm2 9. 8 cm 5 cm 10. 4 cm 三、11.四边形AEDF是菱形，AE=ED.

12.□AFCE是菱形，△AOE≌△COF，四边形AFCE是平行四边形，EF⊥AC 13.24 cm2 14. 9.6 cm

3.90° 4.

4.4矩形、正方形

一、参考例题

［例1］如图，E为正方形ABCD的BC边上的一点，CG平分∠DCF，连结AE，并在CG上取一点G，使EG=AE.

求证：AE⊥EG.

分析：由于CG是角平分线，CA是∠BCD的平分线，于是我们可以断定∠ACG=90°，因而只要证明∠AEG=∠ACG即可，从图中可以看出，只要证明∠1=∠G就可以得到所求证的结论.

证明：连结AC，并延长AC到M，使CM=CG，连结EM. ∵四边形ABCD是正方形 ∴AC平分∠BCD ∴∠ECM=135°

又∵CG平分∠DCF， ∴∠GCF=45°

∴∠ECG=135°，∴∠ECG=∠ECM. 而EC=EC，CG=CM. ∴△ECM≌△ECG. ∴∠M=∠G，EM=EG

而EA=EG，∴EA=EM，∴∠1=∠M ∴∠1=∠G而∠2=∠3 ∴∠AEG=∠ACG

又∵∠ACD=45°，∠DCG=45° ∴∠ACG=90°，∴∠AEG=90°， 即AE⊥EC.

［例2］已知如下图，正方形ABCD中，E是CD边上的一点，F为BC延长线上一点，CE=CF.

(1)求证：△BEC≌△DFC；