（Ⅱ）由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，可得cosA=0，或sinC=2sinA，

分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解． 【解答】（本题满分为12分） 解：（Ⅰ）∵（a+c）2=b2+3ac， ∴可得：a2+c2﹣b2=ac， ∴由余弦定理可得：cosB=∵B∈（0，π）， ∴B=

．…6分

=

=，

（Ⅱ）∵sinB+sin（C﹣A）=2sin2A， ∴sin（C+A）+sin（C﹣A）=2sin2A，

∴sinCcosA+cosCsinA+sinCcosA﹣cosCsinA=4sinAcosA，可得：cosA（sinC﹣2sinA）=0，

∴cosA=0，或sinC=2sinA， ∴当cosA=0时，A=

，可得c=

=

，可得S△ABC=?b?c=

=

；

当sinC=2sinA时，由正弦定理知c=2a，由余弦定理可得：4=a2+c2﹣ac=a2+4a2﹣2a2=3a2， 解得：a=

18．共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚，某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示，若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”，已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”．

，c=

，S△ABC=acsinB=

×

×

=

．…12分

（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列2×2列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？

使用共享单车情况与年龄列联表

经常使用共享单车用户 不常使用共享单车用户 合计 160 40 200 80 年轻人 非年轻人 合计 120 （Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量X，求X的分布列与期望． （参考数据：

P（K2≥k0） 0.15 2.072 0.10 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 k0 其中，K2=

，n=a+b+c+d）

【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；BL：独立性检验；CG：离散型随机变量及其分布列．

【分析】（Ⅰ）补全的列联表，求出K2≈2.083＞2.072，从而有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关．

（Ⅱ）经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为10%，从而X～B（3，0.1），由此能出X的分布列和数学期望E（X）． 【解答】解：（Ⅰ）补全的列联表如下：

年轻人 100 60 160 非年轻人 20 20 40 合计 120 80 200 经常使用共享单车 不常使用共享单车 合计 于是a=100，b=20，c=60，d=20，… ∴K2=

≈2.083＞2.072，

即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． …

（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为

=10%，

即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵X～B（3，0.1），X=0，1，2，3， ∴P（X=0）=（1﹣0.1）3=0.729， P（X=1）=P（X=2）=

P（X=3）=0.13=0.001， ∴X的分布列为： X P 0 1 2 3 ， ，

0.729 0.243 0.027 0.001 ∴X的数学期望E（X）=0×0.729+1×0.243+2×0.027+3×0.001=0.3．…

19．已知矩形ADEF和菱形ABCD所在平面互相垂直，如图，其中AF=1，AD=2，∠ADC=

，点N时线段AD的中点．

（Ⅰ）试问在线段BE上是否存在点M，使得直线AF∥平面MNC？若存在，请证明AF∥平面MNC，并求出

的值，若不存在，请说明理由；

（Ⅱ）求二面角N﹣CE﹣D的正弦值．

【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定．

【分析】（Ⅰ） 作FE的中点P，连接CP交BE于点M，M点即为所求的点，由PE∥AD，AD∥BC，得PE∥BC，

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）得PN⊥ND，PN⊥NC，以N为空间坐标原点，NC，ND，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz，N（0，0，0），C（1，0），E（0，1，1），利用向量法求解．

作FE的中点P，M点即为所求的点．… 【解答】解：（Ⅰ）连接CP交BE于点M，证明：连接PN，∵N是AD的中点，P是FE的中点，∴PN∥AF， 又PN?平面MNC，AF?平面MNC， ∴直线AF∥平面MNC．

… ∵PE∥AD，AD∥BC，∴PE∥BC， ∴

．…

，0，0），D（0，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PN⊥AD，又面ADEF⊥面ABCD，面ADEF∩面ABCD=AD，PN?面ADEF，

所以PN⊥面ABCD． … 故PN⊥ND，PN⊥NC．…

以N为空间坐标原点，NC，ND，NP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系N﹣xyz， ∵∠ADC=

，AD=DC=2，∴△ADC为正三角形，NC=

，

∴N（0，0，0），C（∴

=（0，1，1），

，0，0），D（0，1，0），E（0，1，1）， =（

，0，0），

=（0，0，1），

=（

，﹣1，0）， =0可得

设平面NEC的一个法向量n1=（x，y，z），则由n1?

令y=1，则n1=（0，1，﹣1）．

=0，n1?