即t1＝－t2?t1＝t2，
所以|QE|·|QF|＝|QP|·|QB|， 即|QE|·|QF|－|QP|·|QB|＝0为定值．
B组 能力提高
22
x2y2
5．已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上顶点为点D，右焦点为F2(1,0)，延长DF2交椭圆C于
ab点E，且满足|DF2|＝3|F2E|. (1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F2作与x轴不重合的直线l和椭圆C交于A，B两点，设椭圆C的左顶点为点H，且直线HA，HB分别与直线x＝3交于M，N两点，记直线F2M，F2N的斜率分别为k1，k2，则k1与k2之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
解 (1)椭圆C的上顶点为D(0，b)，右焦点F2(1,0)，点E的坐标为(x，y)． →→
∵|DF2|＝3|F2E|，可得DF2＝3F2E， →→
又DF2＝(1，－b)，F2E＝(x－1，y)，
??∴?by＝－??3，x＝，
可得43
x2y2
代入2＋2＝1，
ab?4?2?－b?2?3??3?????
a2＋b2＝1，
2
2
又a－b＝1，解得a＝2，b＝1， 即椭圆C的标准方程为＋y＝1.
2
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，H(－2，0)，M(3，yM)，
22
x2
2
N(3，yN).
由题意可设直线AB的方程为x＝my＋1，
x＝my＋1，??2
联立?x2
＋y＝1，??2
2
2
消去x，
得(m＋2)y＋2my－1＝0， Δ＝4m＋4(m＋2)>0恒成立．
2
2
17
2my＋y＝－，??m＋2∴?－1
yy＝??m＋2.1
2
2
12
2
根据H，A，M三点共线，可得
＝，
3＋2x1＋2
yMy1
∴yM＝y1(3＋2)x1＋2
.
同理可得yN＝y2(3＋2)x2＋2
，
∴M，N的坐标分别为?3，
??
y1(3＋2)??
y2(3＋2)??，?3，?，
x1＋2??x2＋2?
∴k1k2＝yM－0yN－01
3－1
·3－1
＝yMyN 4
1y1(3＋2)y2(3＋2)＝·· 4x1＋2x2＋2＝
y1y2?3＋2?2
4(my1＋1＋2)(my2＋1＋2)
＝
y1y2?3＋2?2
4my1y2＋(1＋
2
[2)m(y1＋y2)＋(1＋2)
2
]
＝
－11－62
m2＋2
?－m2－2(1＋2)m2?4?2＋?＋3＋22
m2＋2?m＋2?
－11－62
m2＋242－9＝＝.
86＋42
4×2
m＋2
42－9
∴k1与k2之积为定值，且该定值是.
8
433
6．已知平面上动点P到点F(3，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，记动点P32的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程；
(2)设M(m，n)是曲线E上的动点，直线l的方程为mx＋ny＝1. ①设直线l与圆x＋y＝1交于不同两点C，D，求|CD|的取值范围；
18
2
2
②求与动直线l恒相切的定椭圆E′的方程，并探究：若M(m，n)是曲线Γ：Ax＋By＝
2
2
1(A·B≠0)上的动点，是否存在与直线l：mx＋ny＝1恒相切的定曲线Γ′？若存在，直接写出曲线Γ′的方程；若不存在，说明理由． 解 (1)设P(x，y)，由题意，得(x－3)＋y2
2
?43??x－?
3??
x2
2
＝
3
. 2
整理，得＋y＝1，∴曲线E的方程为＋y＝1.
44(2)①圆心到直线l的距离d＝
1
x2
2
m＋n22，
∵直线与圆有两个不同交点C，D， ∴|CD|＝4?1－
2
??
1?. m＋n2??
2
又∵＋n＝1(m≠0)，
44??2
∴|CD|＝4?1－2?.
?3m＋4?∵|m|≤2，∴0 ∴0<1－2≤. 3m＋44 ∴|CD|∈(0，3]，|CD|∈(0，3]， 2 2 m2 2 即|CD|的取值范围为(0，3]. ②当m＝0，n＝1时，直线l的方程为y＝1； 1 当m＝2，n＝0时，直线l的方程为x＝. 2根据椭圆对称性，猜想E′的方程为4x＋y＝1. 下面证明：直线mx＋ny＝1(n≠0)与4x＋y＝1相切， 2 2 2 2 其中＋n＝1，即m＋4n＝4. 44x＋y＝1，?? 由?1－mxy＝，?n? 2 2 m2 222 2 2 消去y得 (m2＋4n2)x2－2mx＋1－n2＝0， 即4x－2mx＋1－n＝0， ∴Δ＝4m－16(1－n)＝4(m＋4n－4)＝0恒成立，从而直线mx＋ny＝1与椭圆E′：4x＋ 2 2 2 2 2 y2＝1恒相切． 19 若点M(m，n)是曲线Γ：Ax＋By＝1(A·B≠0)上的动点，则直线l：mx＋ny＝1与定曲线 2 2 x2y2 Γ′：＋＝1(A·B≠0)恒相切． AB 20