所以b＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
32(2)①当直线BD的斜率k存在且k≠0时， 直线BD的方程为y＝k(x＋1)， 代入椭圆方程＋＝1，
32
并化简得(3k＋2)x＋6kx＋3k－6＝0.
2
2
2
2
2
x2y2
x2y2
Δ＝36k－4(3k＋2)(3k－6)＝48(k＋1)>0恒成立． 设B(x1，y1)，D(x2，y2)，
6k3k－6
则x1＋x2＝－2，x1x2＝2，
3k＋23k＋2|BD|＝1＋k·|x1－x2|
43(k＋1)
＝(1＋k)·[?x1＋x2?－4x1x2]＝. 2
3k＋2
2
2
2
22
2
4222
1
由题意知AC的斜率为－，
k?1?43?2＋1?2?k?43(k＋1)
所以|AC|＝＝. 2
12k＋33×2＋2
k|AC|＋|BD|＝43(k＋1)?
2
2
?21＋21?
??3k＋22k＋3?
2
22
203(k＋1)203(k＋1)＝≥ (3k2＋2)(2k2＋3)?(3k2＋2)＋(2k2＋3)?2
??
2??
203(k＋1)163
＝＝. 22
25?k＋1?5
4
2
2
当且仅当3k＋2＝2k＋3，即k＝±1时，上式取等号， 163
故|AC|＋|BD|的最小值为. 5②当直线BD的斜率不存在或等于零时， 103163
可得|AC|＋|BD|＝>. 35163
综上，|AC|＋|BD|的最小值为.
5
2．(2018·诸暨市适应性考试)已知F是抛物线C：x＝2py(p>0)的焦点，过F的直线交抛物线C于不同的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＝－1.
13
2
22
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点B作x轴的垂线交直线AO(O为坐标原点)于点D，过点A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，AE的中点为G. ①求点D的纵坐标； ②求|GB||DG|的取值范围．
解 (1)设AB：y＝kx＋p2
，
?联立??
y＝kx＋p2，2
p??x2＝2py，
得x＝2p??
?
kx＋2???，
即x2
－2pkx－p2
＝0， ∴x2
1x2＝－p＝－1，∴p＝1， ∴抛物线C的方程为x2
＝2y. (2)①直线OA的方程为y＝y1x1
xx＝x，
12∴D??
xx1x2?
2，
2???，即D???
x12，－2???， ∴点D的纵坐标为－1
2.
②∵k1
DF＝－x，∴kAE＝x2，
2
即直线AE的方程为y－y1＝x2(x－x1)，
?y－y1＝x2?x－x1?，联立??x2
2
－x2x－y1－1＝0，
??y＝x2
2
，
得∴xE＝2x2－x1，∴G(x2,2y2＋y1＋1)． ∴G，B，D三点共线，∴|GB|y2＋y1＋1
|DG|＝2y3
，
2＋y1＋
2∵y1
1·y2＝4
，
|DG|y1
1＋
∴
2
|GB|＝2－1＝2－y1
4y＋y1
1＋1y1＋12
14
1
＝2－∈(1,2)，
11＋2y1∴
|GB|?1?
∈?，1?. |DG|?2?
3．(2018·全国Ⅲ)已知斜率为k的直线l与椭圆C：＋＝1交于A，B两点，线段AB的
43中点为M(1，m)(m>0)． 1
(1)证明：k<－；
2
→→→→→→
(2)设F为C的右焦点，P为C上一点，且FP＋FA＋FB＝0.证明：|FA|，|FP|，|FB|成等差数列，并求该数列的公差．
(1)证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则＋＝1，＋＝1. 4343两式相减，并由由题设知
x2y2
x2y211x2y222
y1－y2x1＋x2y1＋y2
＝k，得＋·k＝0. x1－x243
y1＋y2
2
3
＝m，于是k＝－.①
4mx1＋x2
2
＝1，
31
由题设得0 (2)解 由题意得F(1,0)．设P(x3，y3)，则 (x3－1，y3)＋(x1－1，y1)＋(x2－1，y2)＝(0,0)． 由(1)及题设得x3＝3－(x1＋x2)＝1， y3＝－(y1＋y2)＝－2m<0. 3 又点P在C上，所以m＝， 43?→3?从而P?1，－?，|FP|＝， 2?2?→22 于是|FA|＝?x1－1?＋y1＝ x1?x1??x1－1?＋3?1－?＝2－. 2?4? 2 2 x2→ 同理|FB|＝2－. 2 1→→ 所以|FA|＋|FB|＝4－(x1＋x2)＝3. 2 →→→→→→ 故2|FP|＝|FA|＋|FB|，即|FA|，|FP|，|FB|成等差数列． 11→→2设该数列的公差为d，则2|d|＝||FB|－|FA||＝|x1－x2|＝?x1＋x2?－4x1x2.② 22 15 3 将m＝代入①得k＝－1， 4 7 所以l的方程为y＝－x＋，代入C的方程， 412 并整理得7x－14x＋＝0. 4 1321 故x1＋x2＝2，x1x2＝，代入②解得|d|＝. 2828321321 所以该数列的公差为或－. 2828 12 4.(2018·嘉兴市、丽水市教学测试)点P(1,1)为抛物线y＝x上一定点，斜率为－的直线 2与抛物线交于A，B两点． (1)求弦AB中点M的纵坐标； (2)点Q是线段PB上任意一点(异于端点)，过Q作PA的平行线交抛物线于E，F两点，求证：|QE|·|QF|－|QP|·|QB|为定值． (1)解 kAB＝ yA－yB11 ＝＝－，(*) xA－xByA＋yB2 yA＋yB2 ＝－1. 所以yA＋yB＝－2，yM＝ (2)证明 设Q(x0，y0)，直线EF：x－x0＝t1(y－y0)， 直线PB：x－x0＝t2(y－y0)， 联立方程组? 2 ??x－x0＝t1?y－y0?，??y＝x， 2 得y－t1y＋t1y0－x0＝0， 所以yE＋yF＝t1，yE·yF＝t1y0－x0， |QE|·|QF|＝1＋t1|yE－y0|·1＋t1|yF－y0| ＝(1＋t1)|y0－x0|. 同理|QP|·|QB|＝(1＋t2)|y0－x0|. 2 2 2 2 22由(*)可知，t1＝ 1 kEFkPA＝1 ＝yA＋yP，t2＝1 kPB＝yB＋yP， 所以t1＋t2＝(yA＋yB)＋2yP＝－2＋2＝0， 16