表示为t＝mk，得y＝k(x＋m)，故动直线过定点(－m,0)．
②动曲线C过定点问题，解法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． (2)求解定值问题的两大途径
①由特例得出一个值?此值一般就是定值?→
证明定值：将问题转化为证明待证式与参数?某些变量?无关 ②先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值． 跟踪演练2 已知倾斜角为
π2
的直线经过抛物线Γ：y＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线Γ相4
交于A，B两点，且|AB|＝8. (1)求抛物线Γ的方程；
(2)过点P(12,8)的两条直线l1，l2分别交抛物线Γ于点C，D和E，F，线段CD和EF的中点分别为M，N.如果直线l1与l2的倾斜角互余，求证：直线MN经过一定点． (1)解 由题意可设直线AB的方程为y＝x－，
2
pp??y＝x－，2由?
??y2＝2px，
2
消去y整理得x－3px＋＝0，
4
2
p2
Δ＝9p－4×＝8p>0，
4令A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝3p，
由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝8， ∴p＝2.
∴抛物线的方程为y＝4x.
(2)证明 设直线l1，l2的倾斜角分别为α，β， π
由题意知，α，β≠.
2
直线l1的斜率为k，则k＝tan α. ∵直线l1与l2的倾斜角互余，
2
p2
2
?πsin?－α?2?π?∴tan β＝tan?－α?＝
?2??π
cos?－α?2
??? ???
5
＝
cos α11
＝＝， sin αsin αtan α
cos α
1
∴直线l2的斜率为. k∴直线CD的方程为y－8＝k(x－12)， 即y＝k(x－12)＋8.
??y＝k?x－12?＋8，由?2
?y＝4x，?
2
消去x整理得ky－4y＋32－48k＝0， 设C(xC，yC)，D(xD，yD)， 4∴yC＋yD＝，
k416
∴xC＋xD＝24＋2－，
kk282??∴点M的坐标为?12＋2－，?.
?
kkk?
1
以代替点M坐标中的k，
k可得点N的坐标为(12＋2k－8k,2k)， 1?k?
∴kMN＝＝.
1112????2?2－k?－8?－k?＋k－4
2
?1?2?－k??
?k?k?k∴直线MN的方程为
y－2k＝
k[x－(12＋2k－8k)]， 1
＋k－4
1
2
?1?即?＋k－4?y＝x－10， ?k?
显然当x＝10时，y＝0， 故直线MN经过定点(10，0). 热点三 探索性问题
1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明确化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．
6
y2x2
例3 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1，F2，上焦点F1到直线4x＋3y＋
ab1
12＝0的距离为3，椭圆C的离心率e＝.
2(1)求椭圆C的方程；
y23x2
(2)椭圆E：2＋＝1，设过点M(0,1)，斜率存在且不为0的直线交椭圆E于A，B两点，
a16b2→??→PAPB?→?＋试问y轴上是否存在点P，使得PM＝λ？若存在，求出点P的坐标；若不存在，→??|→
?PA||PB|?说明理由．
y2x2
解 (1)由已知椭圆C的方程为2＋2＝1(a>b>0)，
ab设椭圆的焦点F1(0，c)，
由F1到直线4x＋3y＋12＝0的距离为3， 得
|3c＋12|
＝3， 5
1c1
又椭圆C的离心率e＝，所以＝，
2a2又a＝b＋c，求得a＝4，b＝3. 椭圆C的方程为＋＝1. 43
(2)存在．理由如下：由(1)得椭圆E：＋＝1，
164设直线AB的方程为y＝kx＋1(k≠0)，
2
2
2
2
2
y2x2
x2y2
y＝kx＋1，??22
联立?xy＋＝1，??164
2
消去y并整理得(4k＋1)x＋8kx－12＝0， Δ＝(8k)＋4(4k＋1)×12＝256k＋48>0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
8k12
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2. 4k＋14k＋1假设存在点P(0，t)满足条件， →??→PAPB?→
＋由于PM＝λ?， →??|→
?PA||PB|?所以PM平分∠APB.
7
2
2
2
2
所以直线PA与直线PB的倾斜角互补， 所以kPA＋kPB＝0. 即
y1－ty2－t＋＝0， x1x2
即x2(y1－t)＋x1(y2－t)＝0.(*) 将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1代入(*)式， 整理得2kx1x2＋(1－t)(x1＋x2)＝0， 所以－2k·
12?1－t?×?－8k?
＋＝0， 224k＋14k＋1
整理得3k＋k(1－t)＝0，即k(4－t)＝0， 因为k≠0，所以t＝4.
→??→PAPB?→
＋所以存在点P(0,4)，使得PM＝λ?. →??|→
?PA||PB|?思维升华 解决探索性问题的注意事项
存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．
x2y22
跟踪演练3 已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)经过点M(2，2)，且离心率为.
ab2
(1)求a，b的值，并写出椭圆C的方程；
(2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，在椭圆C上有异于A，B的动点P，若直线PA，PB与直线l：x＝m(m为常数)分别交于不同的两点M，N，则当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过定点？
42c2222
解 (1)由题知，2＋2＝1，＝，a＝b＋c，
aba2解得a＝22，b＝2， ∴椭圆C的方程为＋＝1. 84
(2)由(1)知，A(－22，0)，B(22，0)， 设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，
则直线PA，PB的方程分别为y＝k1(x＋22)，
x2y2
y＝k2(x－22)，
8