12

∵点A在抛物线上且横坐标为－2，∴点A的纵坐标为y＝×(－2)－2×(－2)＝5，即点

4

A的坐标为(－2，5)，

∵AB∥x轴，

∴点B与点A关于抛物线对称轴x＝4对称， ∴点B坐标为(10，5)；

(2)①如解图①，∵点C是AB与y轴的交点， ∴点C的坐标为(0，5)， ∵点C与点D关于OP对称， ∴OD＝OC＝5，

连接BO，当点D不在OB上时，根据三角形三边关系可知

BD>OB－OD，

当点D落在OB上时，BD＝OB－OD，此时BD最小， ∵BO＝102

＋52

＝55，OD＝OC＝5， ∴BD的最小值为55－5；

【一题多解】∵点C是AB与y轴的交点，∴点C的坐标为(0，5)， ∵点C与点D关于OP对称，∴OD＝OC＝5， ∴点D在以O为圆心OD＝5为半径的圆上， ∴当点D在OB上 时，BD取最小值， 最小值为BO－OD＝102＋52－5＝55－5.

②如解图②，设对称轴与AB交于点M，与x轴交于点N， 当点P在对称轴左侧时，连接OD，

在Rt△ODN中，ON＝4，OD＝5，由勾股定理得

DN＝OD2－ON2＝3，

∴点D的坐标为(4，3)，DM＝2.

17

设CP＝x，在Rt△PMD中， 由勾股定理得PM＋MD＝PD， 由点C与点D关于OP对称得PC＝PD， 即(4－x)＋2＝x， 5

解得x＝，

2

2

2

2

2225

∴点P的坐标为(，5)，

2

设直线PD的解析式为y＝mx＋n，将点P，D的坐标代入得

4?5m?-???m?n?53， ，解得?2?25??4m?n?3n??3?254x＋. 33∴PD的解析式为y＝－

当点P在对称轴左侧时，点P落在x轴上方，符合题意；当点P在对称轴的右侧时，点D落在x轴的下方，不符合题意．

图①

18

第14题解图15. 解：(1)∵a＝1， ∴正方形ABCD的边长为2， ∵坐标原点O为AD的中点， ∴C(2，1)．

∵抛物线y＝mx2

过C点， ∴1＝4m，解得m＝1

4

，

∴抛物线解析式为y＝124x，

∵正方形DEFG的边长为2b， ∴DE＝EF＝2b， ∴F(2b，2b＋1)，

将F(2b，2b＋1)代入y＝12

4

x，

得2b＋1＝12

4

×(2b)，b＝1±2(负值舍去)．

图②19

故m＝1

4

，b＝1＋2；

(2)∵正方形ABCD的边长为2a，坐标原点O为AD的中点， ∴C(2a，a)．

∵抛物线y＝mx2过C点，

∴a＝m·4a2

，解得m＝14a，

∴抛物线解析式为y＝

12

4ax， 由(1)知F(2b，2b＋a)，

将F(2b，2b＋a)代入y＝

14ax2

， 得2b＋a＝

14a×(2b)2

， 整理得b2

－2ab－a2＝0， 解得b＝(1±2)a(负值舍去)，

∴ba＝1＋2；

(3)以FM为直径的圆与AB所在直线相切．理由如下： ∵D(0，a)，

∴可设直线FD的解析式为y＝kx＋a， ∵F(2b，2b＋a)，

∴2b＋a＝k·2b＋a，解得k＝1， ∴直线FD的解析式为y＝x＋a，

20