上式表明，行星径矢r始终与常矢量h正交，故行星一定在同一平面内运动。

为了得出行星运动的轨迹，采用图中平面极坐标方向

，取静止的太阳为极点o，行星位置为(r,α).在平面 极坐标中，行星运动有关物理量如下：

径行r=r﹒r° ；速度v=dr/dt=(dr/dt)﹒r°+r﹒(dα/dt)﹒α° r°是径向单位矢量，α°为径向垂直单位矢量。 dr/dt是径向速度分量， r﹒(dα/dt)是横向速度分量 速度大小满足v²=(dr/dt)²+( r﹒(dα/dt))² 动量mv=m(dr/dt)+m( r﹒(dα/dt))

角动量L=r×mv=m·r²(dα/dt)·(r°×α°) 得L=m·r ²·(dα/dt)

行星所受的太阳引力指向o点，故对o点力矩M=0，由角动量定理，知角动量守恒。L为常量

太阳行星系统的机械能守恒，设系统总能量为E，则 E=½mv²-GMm/r

因 α/dt=L/mv² dr/dt= (L/mv²)(dr/dα)代入上式

(L²/m²r²r²)(dr/dα)²+

L²/m²r=2E/m+2GM/r

上边两式同乘m²/ L²，得

dr²/dα²r²r²+1/r²=2mE/L²+2Mm²/L²r

为了简化式子，令ρ=1/r.则dr/dα=-r²(dρ/dα)

于

是

方

程

变

为

（

dr/dα

）

²+ρ²-2Gm²Mρ/L²=2mE/L² 上式对α求导。并注意E与L为常量。得

2（dr/dα）（d²r/dα²）+2ρ(dρ/dα) 开普勒第二定律的证明

开普勒第二定律是这么说的：在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。O为恒星，直线AC为行星不受引力时的轨迹。设行星从A到B、从B到C所用的时间间隔Δt相等，A处的时刻为t1，B为t2，C为t3。现在假设行星不受O的引力作用，那么这时扫过的面积SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）。现在行星受到引力作用了，因为引力的方向时刻指向恒星，所以在从t1到t3这段

开普勒定律

时间里，行星所受的引力的方向的总效果应该沿着BO方向（这需要一点向量的知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该由两个向量相加而得到：向量AC+向量CC’（作CC’平行于BO，因此沿BO方向的向量等价于CC’）。这样，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高)。因此，SΔBC’O=SΔABO。因为Δt是任取的，所以在相等的时间内，行星与恒星的连线扫过的面积相等。 开普勒第三定律的证明

在图中，A，B分别为行星运动的近日点和远日点，以Va和Vb分别表示行星在该点的速度，由于速度沿轨道切线方向，可见Va和Vb的方向均与此椭圆的长轴垂直，则行星在此两点时对应的面积速度分别为 SA=1/2rAvA=1/2(a-c)vA??????????????{1} sB=1/2rBvB=1/2(a+c)vB

根据开普勒第二定律，应有SA=SB，因此得

vB=[(a-c)/(a+c)]vA?????????????????{2} 行星运动的总机械能E等于其动能与势能之和，则当他经过近日点和远日点时，其机械能应分别为

EA=1/2m(vA)^2-(GMm)/rA=1/2m(vA)^2-(GMm)/(a-c)????{3}

Eb=1/2m(Vb)^2-(GMm)/rB=1/2m(vB)^2-(GMm)/(a+c) 根据机械能守恒，应有EA=EB，故得

1/2m[（vA）^2-(vB)^2]=GMm[1/(a-c)-1/(a+c)]????????{4} 由{2}{4}两式可解得

（vA）^2={(a+c)GM}/{a(a-c)}????????????{5} （vB）^2={(a-c)GM}/{a(a+c)} 由{5}式和{1}式得面积速度为 SA=SB=S=（b/2）√[(GM)/a]

椭圆的面积为( 兀ab ) ,则得此行星运动周期为 T=（兀ab）/S=2兀a√a/(GM)??????????{6} 将{6}式两边平方，便得 (a)^3/(T)^2=(GM)/4（兀）^2 发现过程

被称为“星子之王”的第谷·布拉赫在天体观测方面获得不少成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。他的助手开普勒利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制。然而工作伊始便遇到了困难，按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙”总不听指挥，老爱越轨。经过一次次分析计算，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆，而是椭圆，那么矛盾不就烟消云散了吗。经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现：行星在通过太阳的平面内沿椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。这就是行星运动第一定律，又叫“轨道定律”。 当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗

开普勒对天文学贡献很大

了。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，却仍得不到结果。后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的联线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律也叫“调和定律”。 定律意义

首先，开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动这一观念，从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。

其次，开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差别，获得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单而精确地推算行星的运动。

第三，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的（即开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与质量无关。而在哥白尼体系中，太阳虽然居于宇宙“中心”，却并不扮演这个角色，因为没有一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。

由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！