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【2019最新】精选高考数学一轮复习第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书文新人教A版

———————————————————————————————— [考纲传真] 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

1．平面向量基本定理

(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成a＝xi＋yj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.

3．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝.

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4．平面向量共线的坐标表示

设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a，b共线?x1y2－x2y1＝0. 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．( )

(2)在△ABC中，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角为∠ABC.( )

(3)若a，b不共线，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.( ) (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×

2．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于 ( ) A．5 C.

B. D．13

B [因为a＋b＝(2，－1)＋(1,3)＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝.]

3．(2015·全国卷Ⅰ)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量＝(－4，－3)，则向量＝( ) A．(－7，－4) C．(－1,4)

B．(7,4) D．(1,4)

A [＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)，

→

BC＝－＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)．

故选A.]

4．(2016·全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________. －6 [∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b， ∴－2m－4×3＝0，∴m＝－6.]

5．(教材改编)已知?ABCD的顶点A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为________．

(1,5) [设D(x，y)，则由＝，得(4,1)＝(5－x,6－y)， 即解得]

平面向量基本定理及其应用 (1)如果e1，e2是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，2019年

不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ( )

A．e1与e1＋e2 B．e1－2e2与e1＋2e2 C．e1＋e2与e1－e2 D．e1＋3e2与6e2＋2e1

(2)(2016·山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

(1)D (2) [(1)选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解； 选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则无解； 选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；

选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量． (2)选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋， 又＝λ＋μ＝＋，

2λ＝，??3

于是得解得?2

μ＝??3，

所以λ＋μ＝.]

[规律方法] 1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量．

2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用．如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于λ，μ的方程组．

[变式训练1] 如图4-2-1，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F分别为线段AD与BC的中点．设＝a，＝b，则＝________，＝________，＝________(用向量a，b表示)．

图4-2-1

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1

b－a 3

b－a a－b [＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a，＝＋＝－b＋＝b－a，＝＋＝－b－＝a－b.]

平面向量的坐标运算 已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设＝a，＝b，＝c，且＝3c，

＝－2b，

(1)求3a＋b－3c；

(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n； (3)求M，N的坐标及向量的坐标．

[解] 由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8).2分 (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42).5分 (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得8分

(3)设O为坐标原点．∵＝－＝3c，

∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20).10分 又∵＝－＝－2b，

∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴＝(9，－18).12分

[规律方法] 1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解．

2．平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”，实质是“形”化为“数”．向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来．

[变式训练2] (2017·合肥三次质检)已知a＝(1，t)，b＝(t，－6)，则|2a＋