作业10 光的衍射

10-1 如果单缝夫琅和费衍射的第一级暗纹发生在衍射角为??30?的方位上，所用单色光波长为??500nm，则单缝宽度为： 1.0 μm． 解： 暗纹公式 asin??k?

10-2 在单缝夫琅和费衍射装置中，设中央明纹衍射角范围很小．若使单缝宽度a变为原来的3/2，同时使入射单色光波长变为原来的3/4，则屏上单缝衍射条纹中央明纹的宽度2?将变为原来的 1/2 倍．

解：由单缝衍射暗纹公式 asin??k?，暗纹位置 xk?f?tan??fsin?，

∴中央明半纹宽??x1?f?a；若???3?4，a??3a2 代入上式得 ????2 10-3 在单缝夫琅和费衍射中，设第一级暗纹的衍射角很小．若纳黄光（?1?589.3 nm）中央明纹宽度为4.00 mm，则?2?442 nm的兰紫色光的中央明纹宽度为 3 mm. 解：单缝衍射中央明纹半宽度??x1?f?a，∴?1?2??1?2，2?2?2(?2?1)?1= 3 mm 10-4 单缝夫琅和费衍射对应三级暗纹，单缝宽度所对应的波面可分为 6 个半波带．若缝宽缩小一半，原来第三级暗纹变为第 一级明 纹．

（原题22-2）解：由单缝暗纹公式 asin??k??3??6??2 ∴ 单缝面分为6个半波带．若缝宽缩小一半，单缝面分为3个半波带，所以原第三级暗纹为变第一级明纹． 10-5 波长分别为?1和?2的两束平面光波，通过单缝后形成衍射，?1的第一极小和?2的第二极小重合．问：⑴?1与?2之间关系如何？⑵ 图样中还有其他极小重合吗？ 解：⑴ 由单缝极小条件 asin?1??1 asin?2?2?2

而 ?1??2 ∴ ?1?2?2

⑵ 由 asin?1?k1?1与 asin?2?k2?2 ，如有其它级极小重合时，必有

?1??2 ，于是 k1?1?k2?2 ，而?1?2?2

∴ 2k1?k2 即只要符合级数间的这个关系时，还有其它级次的极小还会重合．

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10-6 如图所示，用波长为546 nm的单色平行光垂直照射单缝，缝后透镜的焦距为40.0 cm，测得透镜后焦平面上衍射中央明纹宽度为1.50 mm，求：⑴ 单缝的宽度；⑵ 若把此套实验装置浸入水中，保持透镜焦距不变，则衍射中央明条纹宽度将为多少？（水的折射率为1.33） 原题22-1

-⑴ a = 2.912×104 m f

题10-6图

-3

⑵ 中央明纹宽2??2x1?2f?a= 1.13×10 m

10-7 衍射光栅主极大公式dsin??k?，k?0, ?1, ?2, ?3,?．在k = 2的方向上第一条缝与第六条缝对应点发出的两条衍射光的光程差?? 10? ． 解：光栅相邻缝对应点发出的衍射光在k?2的方向上光程差为2?，则N?1与N?6对应点发出的衍射光的光程差??2??5?10?．

10-8 用波长为546.1 nm的平行单色光垂直照射在一透射光栅上，在分光计上测得第一级光谱线的衍射角??30?，则该光栅每一毫米上有 916 条刻痕．

1sin30?解：由光栅方程 dsin??k?， 得 N???916条mm

d?10-9 用一毫米内刻有500条刻痕的平面透射光栅观察钠光谱（??589.3nm），当光线垂直入射时，最多能看到第 3 级光谱．

1?10?3解：d??2?10?6m，光线垂直入射时，光栅衍射明纹条件dsin??k?

500d∵sin??1， 得 k??3.39，取整数 kmax?3

?10-10 一束平行光垂直入射在平面透射光栅上，当光栅常数d/a = 3 时，k = 3, 6, 9级不出现．

解：由光栅缺级条件k??da?k?，k???1,?2,?3,?时，k??3,?6,?9,?级缺级

当k?取1时，k?3，∴d?3a 10-11 入射光波长一定时，当光线从垂直于光栅平面入射变为斜入射时，能观察到的光谱线最高级数kmax 变大 （填“变小”或“变大”或“不变”）． 解：正入射光栅方程dsin??k?；斜入射光栅方程d(sini?sin?)?k??，…，

?ax?kmax ∵??90?，0??i?90?，∴sin??1，0?sini?1， ∴ km

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10-12 用波长范围为400~760 nm的白光照射到衍射光栅上，其衍射光谱的第二级和第三级重叠，则第三级光谱被重叠部分的波长范围是 400 ～ 506.7 nm． 原题22-6 解：k??k???，3?3?2?2，令 ?2= 760 nm，得 ?3 = 506.7 nm 10-13 从光源射出的光束垂直照射到衍射光栅上．若波长为?1?653.3nm和

问衍射光栅常数为何值？ ?2?410.2nm的两光线的最大值在??41?处首次重合．

k?k?解：由光栅方程公式有 sin??11?22

dd ∴

k2?2656.3???1.60 k1?1410.2而k1 与 k2必须是整数，又取尽量小的级数 ∴k1?5,k2?8

k1?5?656.3?10?9d???5.00?10?6 m

sin?sin41?

10-14 波长为500nm的单色平行光垂直入射于光栅常数为d?3?10?3mm的光栅上，若光栅中的透光缝宽度a?2?10?3mm，问 ⑴ 哪些谱线缺级？

⑵ 在光栅后面的整个衍射场中，能出现哪几条光谱线？ 解：

d⑴ 根据缺级条件 k?k?（k???1,?2,?3,?）则光栅的第k级谱线缺级（k为整数）

ad3?10?33? 本题 k?k??k?k? ?3a22?10当 k?? 2、4、6….时k = 3、6、…则第±3、±6，…谱线缺级

dsin? 根据光栅方程 dsin ， 令 ???/2 ??k? ， k??3?10?3?10?3 得 k???6 ，再考虑到缺级．

?500?10?9只能出现 0、±1、±2、±4、±5共9条光谱线．

d 23

10-15 一双缝，缝距 d = 0.40 mm，两缝的宽度都是a = 0.080 mm，用波长为??480nm的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距为f = 2.0 m的透镜，求：⑴ 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距?x；⑵ 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目． 原题22-3

-⑴ ?x = 2.4×103 m

⑵ 在单缝衍射中央亮纹范围内有 9条 亮谱线：0, ?1, ?2, ?3, ?4级

10-16 光学仪器的最小分辨角的大小[ C ]

(A) 与物镜直径成正比； (B) 与工作波长成反比

(C) 取决于工作波长与物镜直径的比值；(D) 取决于物镜直径与工作波长的比值. 解：δ??1.22?

D10-17 人眼瞳孔随光强大小而变，平均孔径约为3.0 mm，设感光波长为550 nm，眼睛可分辨的角距离约为 1 分． 解：取人眼孔径为3 mm，入射光波长为550nm，眼最小分辨角 δ??1.22?D??1?

10-18 在夜间人眼的瞳孔直径约为5.0 mm，在可见光中人眼最敏感的波长为550 nm，此时人眼的最小分辨角为 27.6 秒，有迎面驶来的汽车，两盏前灯相距1.30 m，当汽车离人的距离为 9.69×103 m时，人眼恰好可分辨这两盏灯．

?原题22-7 解：δ??1.22??； l??x??

??D10-19 根据光学仪器分辨率的瑞利判据，要利用望远镜分辨遥远星系中的星体，可采用 增大透镜直径 或 用较短的波长 的方法．

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