8-5 一螺旋形长弹簧的一端系一频率为25 Hz的波源，在弹簧上激起一连续的正弦纵波，弹簧中相邻的两个稀疏区之间的距离为24 cm．⑴ 试求该纵波的传播速度；⑵ 如果弹簧中质点的最大纵向位移为 0.30 cm，而这个波沿x轴的负向传播，设波源在 x = 0 处，而x = 0 处的质点在 t = 0 时恰好在平衡位置处，且向x轴的正向运动，试写出该正弦波的波函数． 解：⑴ u???= 24 ×25 = 600 cm/s

⑵ 波源处

?π? ? 初相位 ???2，

?0??? Asin??0?y0?Aco?s?0波源振动方程为 y0?0.30cos2(π?t??0)?0.30cos(50πt?π2) 波沿x轴的负向传播的波函数为 x)??]?0.30cos[y?Acos[?(t?u50π(t?x)?π]?0.30sin[2π(25t?x)]

600224即，该正弦波的波函数为 y?0.30sin[2π(25t?x)] (cm)

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8-6 波源作谐振动，周期为0.01s，经平衡位置向正方向运动时，作为时间起点，若此振动以?= 400 ms?1的速度沿直线传播，求： ⑴ 距波源为8 m处的振动方程和初相位；⑵ 距波源为9 m和10 m两点的相位差． 原题 20-5

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8-7 一平面简谐波，沿x轴正向传播，波速为4 m/s，已知位于坐标原点处的波源的振动曲线如图(a)所示．⑴ 写出此波的波函数； y(cm)⑵ 在图(b)中画出t = 3 s时刻的波形图（标明尺度）．4 P317 13.16 解：

O12?23456t(s)⑴ 由图知，A = 4 cm = 4 × 10 m， T = 4 s

?4(a) ∴ ??2πT?π2，??uT= 4 × 4 = 16 m y(cm)原点处 y0?Acos??A ? 初相位 ??0 原点振动方程为 y?Acos(?t??)?Acos?t ∴ 波函数为 y?Acos?(t?xu)

即 y?4?10cos[?(t?x4)]

?2Ox(m)(b) 题8-7图

y(cm)4u2⑵ 将t = 3 s 代入波函数，得波形曲线方程

O?44812162024x(m)y?4?10?2cos[?(3?x4)]

2t = 3 s 时刻的波形图见图(b)．

(b)

8-8 一正弦式空气波沿直径为0.14 m的圆柱形管道传播，波的平均强度为1.8?10?2

J/(sm2)，频率为300 Hz，波速为300 m/s，问波中的平均能量密度和最大能量密度各是多少？每两个相邻周相差为2? 的同相面之间的波段中包含有多少能量？ 原题 20-7

8-9 频率为100 Hz，传播速度为300 m/s的平面简谐波，波线上两点振动的位相差为1?，则此两点距离为 0.5 m． 3原题 20-11 解：??u?=…= 3 m， ???(2π?)?x，?x?(??2π)?)=…= 0.5 m

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8-10 在弹性媒质中有一波动方程为y?0.01cos(4t?πx?π2)（SI）的平面波沿x轴正向传播，若在x = 5.00处有一媒质分界面，且在分界面处相位突变 ?，设反射后波的强度不变，试写出反射波的波函数． 原题 20-10

8-11 一平面简谐波某时刻的波形图如图所示，此波以速率u沿x轴正向传播，振幅为A，频率为v．

⑴ 若以图中B点为坐标原点，并以此时刻为 t = 0 时刻，写出此波的波函数； ⑵ 图中D点为反射点，且为波节，若以D点为坐标原点，并以此时刻为 t = 0 时刻，写出入射波的波函数和反射波的波函数；

⑶ 写出合成波的波函数，并定出波节和波腹的位置坐标． DBxP326 13.29解：

⑴ B点为坐标原点，t = 0 时刻，

题8-11图

y0?Acos???A ? 初相位 ??π ?振动方程 y?Acos(?t??) ? yB?Acos2(π?t?π) ∴ 波函数为 y?Acos2[π?(t?xu)?π]

⑵ D点为坐标原点，t = 0 时刻，

y0?Acos???0?π入射波： ? ? 初相位 ????2 ?0??? Asin???0?反射波：∵D点为波节，∴初相位 ???????π?π2

D点振动方程 y入D?Acos2(π?t?π2)， y反D?Acos(2π?t?π2) ∴波函数为 y入?Acos2[π?(t?xu)?π2]， y反?Acos2[π?(t?xu)?π2] ⑶ 合成波的波函数 y?y入?y反?2Acos2(π?xu?π2)cos2(π?t) 波节：由 2π?xu?π2?(k?12)π 得 x?k?u （k = 0, -1, -2, …）

2?波腹：由 2π?xu?π2?kπ 得 x?(k?1)u （k = 0, -1, -2, …）

24?

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8-12 入射波的波函数为y1?Acos2π (t?x)，在x = 0处发生反射，反射点为自由端.

T?⑴ 写出反射波的波函数；⑵ 写出驻波的波函数；⑶ 给出波节和波腹的位置． P327 13.30解：反射点为自由端，是波腹，无半波损失， ⑴ 反射波的波函数为 y2?Acos2π (t?x)

T?2π xcos2π t ⑵ 驻波的波函数为 y?y1?y2?2Acos?T⑶ 当cos2π x?1，即2π x?kπ时，得波腹的位置为 x?k?，k = 0, 1, 2, …

??2当cos2π x?0，即2π x?(2k?1)π时，得波节的位置为 x?(2k?)?，k = 0, 1, 2, … ??24

*8-13 一平面简谐波沿x轴正向传播，振幅为A = 10 cm，角频率??7π rad/s，当t =

1.0 s时，x = 10 cm处a质点的振动状态为ya?0，(dydt)a?0；同时x = 20 cm处b质点的振动状态为yb?5.0cm，(dydt)b?0．设波长??10cm，求该波的波函数．

P315 13.13解：当t = 1.0 s时刻，

a质点 ya?Aco? ? ?a?2kπ?π2 ① sa?0，?a?(dydt)a??? Asin?a?0，b质点 yb?Aco?sa?A2，?b?(dydt)b??? Asin?a?0，? ?b?2k?π?π3 a、b两点相位差 ????a??b?2π(k?k?)?5π6

a、b两点间距?x?xa?xb?10??，∴???2π，则??的取值可分两种情况 ⑴ 当k?k??0时，????a??b?5π6，????x?2π?，

则 ??2π(?x??)= 24 (cm)

∵波沿x轴正向传播，可设波函数为

y?Acos(?t?2πx??0)?10cos(7πt?2πx??0)

?24当t = 1.0 s，x = 10 cm时波函数的相位 7π?1.0?2π?10??0??a ②

24 由式①、②求得： ?0?2kπ?17π3， 不妨取 k = 0，则 ?0??17π3 波函数为 y?10cos(7πt?πx?17π) (cm)

123⑵ 当k?k???1时，????a??b??7π6 < 0，波将沿x轴负向传播，故舍去．

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