4-12 麦克斯韦速率分布曲线如图所示，图中A，B两部分面积相等，则该图表示[ ]

（A）?0为最概然速率 f(?)（B）?0为平均速率

（C）?0为方均根速率

A （D）速率大于和小于?0的分子数各占一半 B ?0ΔNA?0?O 参考解：A部分面积SA?； f??? d??0N题4-12图

?ΔNB SA?SB ∴ΔNA?ΔNB 答案为 [ D ] B部分面积 SB?f??? d???0N??

4-13 容积为2.0?10?3m3的容器中，有内能为6.75?102J的刚性双原子分子理想气

体，求：⑴ 气体的压强；

⑵ 设分子总数为5.4?1022个，求分子的平均平动动能及气体的温度； 解：

（1） 由 E?mim?RT 和 PV?RT M2M2E2?6.75?102可得气体压强 P???1.35?105Pa ?3iV5?2.0?10（2）分子数密度n?NPPV，则该气体温度T???3.62?102k VnkNk3?21气体分子的平均平动动能为 ?k?kT?7.49?10J

2

4-14 真空管的线度为 10?2m，真空度为 1.333?10?3Pa．设空气分子的有效直径为3?10?10m，摩尔质量为28.97?10?3kg．求在27℃时真空管中空气的分子数密度、平均碰撞频率和平均自由程． 解：P301 12.26

p空气的分子数密度为 n?= …… = 3.2×1017 (m-3 )

kT1平均自由程为 ??= …… = 7.8 (m)

2π d2n平均碰撞频率为 z?2π d2n??2π d2n8RT-1

= …… = 59.9 (s ) π M 9

?m?*4-15 麦克斯韦速率分布律f(?)?4π?2??e2πkT??32?m?22kT?1?，求速率倒数的平均值??，

???并给出它与速率的平均值?的关系． 解：P296 12.9

由平均值的定义有

?1?????????0?m??2kT? d? f(?) d?? 4π??e0??2πkT?1??32m?2?m???kT??4π???? e?2πkT??m?032???m2?2kT 2m??m2? d????π kT?2kT??1?41???? ???π ?∵速率的平均值??π m ∴ 8kT

*4-16 假定 N 个粒子的速率分布曲线如图示．

⑴ 由 N 和?0求a；

⑵ 求速率在1.5?0到2.0?0之间的粒子数 ?N； ⑶ 求粒子的平均速率 ? 和方均根速率?2． 解：P295 12.7 ⑴ 由归一化条件有

af(?)O2?0题4-16图

?0?2??0f(?) d????00 d????0a d??1， 解之，得 a?3? ?0?a2?00⑵ ?N??2?01.5?0N f(?) d???2?01.5?0Na d??2N1(2.0?0?1.5?0)?N= 0.333 N 3?03?02?⑶ ??? ?f(?) d??? ??0002 d?? ??0?0?a2?01a312011??a???0= 1.22?0 a? d??3?0029?0?02?3 d??????f(?) d????? ??000022??0a2?01a41303133122??a??a?0??0 a? d??4?0031218?0?2?3162?0??0= 1.31?0 186 10

作业6 狭义相对论基础

6-1 惯性系S和S?的坐标在 t?t??0 时重合，有一事件发生在S?系中的时空坐标为60, 10, 0, 8?10?8．若s?系相对于s以速度u = 0.6c 沿x?x?轴正方向运动，则

??该事件在S系中测量时空坐标为( , , , )． 原题 6-1

6-2 天津和北京相距120 km．在北京某日19时整有一工厂因过载而断电，在天津同日19时0分0.0003秒有人放了一响礼炮． 试求在以 u?0.8c 速度沿北京到天津方向飞行的飞船中，观察者测量到这两个事件之间的时间间隔．哪一个事件发生在前．

原题 6-3

6-3 长为4m的棒静止在s系中xOy平面内，并与x轴成30?角，s?系以速度0.5c相对于s系沿x?x?轴正向运动，t?t??0时两坐标原点重合，求s?系中测得此棒的长度和它与x?轴的夹角．

原题 6-4

6-4 中子静止时的平均寿命为15 min 30 s，它能自发地衰变为三个粒子（质子、电子和中微子）．已知地球到太阳的平均距离为1.496?1011m．有一个中子被太阳抛 向地球，它必须具有 1.418×108 = 0.473 c m/s 的速率，才能在衰变前到达地球．

解： ????0??0

1?(uc)2 ? l?u??u?011

1?(uc)2 ? u?l2?0?(lc)2

6-5 一火箭静止在地面上测量时长度20 m，当它以 0.8 c 在空间竖直向上匀速直线飞行时，地面上观察者测得其长度为 ．若宇航员在飞船上举一次手用2.4 s，则地面上测到其举手所用时间为 ．

原题 6-6

6-6 以地球-月球作为参考系测得地-月之间的距离为 3.844?108m，一火箭以0.8 c 的速率沿着地球到月球的方向飞行，先经过地球（事件1），之后又经过月球（事件2）．要求分别用：⑴ 洛仑兹变换公式，⑵ 长度收缩公式，⑶ 时间膨胀公式，求在地球-月球参考系和在火箭参考系中观测，火箭由地球飞向月球各需要多少时间？ P369 15.4；P371 15.9 解： 取地-月系为S系，地-月距离?x?3.844?108m，固定在火箭上的坐标系为S?系，

其相对S系的速率 u = 0.8 c，则在S系中火箭由地球飞向月球的时间为

?t??xu= …= 1.6 s

由已知 ??uc?0.8 ??1?5

1??23⑴ 由洛仑兹变换公式 t???(t?cx) ? ?t???(?t?c?x)

可求得在火箭S?系中 ?t?= …= 0.96 s

⑵ S?系中，测地-月距离为l?，是运动长度，由长度收缩公式 l?? l? 有 l??l? 则 ?t??l?u?t??l(u?) =…= 0.96 s

⑶ S?系中，两个事件在同一个地点发生，?t?为固有时间?0；S系中两事件时间间隔?t为运动时间?，由时间膨胀公式 ????0

?t???0?????t?=…= 0.96 s

??

6-7一匀质薄板静止时测得长、宽分别是a、b，质量为m，假定该板沿长度方向以接近光速的速度?作匀速直线运动，那么它的长度为 a1?(?2c2) ，质量为

m面积密度（单位面积的质量）为 1?(?2c2) ，m ．(原题6-8)

ab(1??2c2)解：∵ 沿运动方向 l?l0?，? a??a??a1?(?2c2)；m??? m?mmm?∵ b ⊥ 运动方向，? b??b， ? ?????abab(1??2c2)

12

1?(?2c2)