9．(2018·高考全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通项公式；

(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m. 解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n

－1

－

或an＝2n1.

1－（－2）n

，则Sn＝.

3

－

(2)若an＝(－2)

n－1

由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解． 若an＝2n1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 综上，m＝6.

an

10．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝. n(1)求b1，b2，b3的值；

(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由． 2（n＋1）

解：(1)由条件可得an＋1＝an.

n

将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4， 将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12， 从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.

(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

an＋12an

由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．

n＋1n

[综合题组练]

bn＋1

1．(2020·河南郑州三测)已知数列{an}，{bn}满足a1＝b1＝1，an＋1－an＝＝3，n∈N*，则数列{ban}

bn

的前10项和为( )

1

A.×(310－1) 2

1

C.×(279－1) 26

解析：选D.因为an＋1－an＝

bn＋1

＝3， bn

1

B.×(910－1) 8

1

D．×(2710－1)

26

－

所以{an}为等差数列，公差为3，{bn}为等比数列，公比为3，所以an＝1＋3(n－1)＝3n－2，bn＝1×3n

－1

＝3n1，

－

所以ban＝33n3＝27n1，

所以{ban}是以1为首项，27为公比的等比数列，

1×（1－2710）1

所以{ban}的前10项和为＝×(2710－1)，故选D.

261－27

2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{an}满足a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝2(n2＋n)，若bn＝22an，则{bn}的前n项和Sn＝ ．

an＋1an?an?

解析：由nan＋1－(n＋1)an＝2(n2＋n)，得－＝2，又a1＝2，所以数列?n?是首项为2，公差为2

??n＋1nan

的等差数列，所以＝2＋2(n－1)＝2n，即an＝2n2，所以bn＝22an＝4n，所以数列{bn}是首项为4，公

n4－4n14n1－4

比为4的等比数列，所以Sn＝＝.

31－4

4n1－4

答案： 3

3．(2020·昆明市诊断测试)已知数列{an}是等比数列，公比q＜1，前n项和为Sn，若a2＝2，S3＝7. (1)求{an}的通项公式；

(2)设m∈Z，若Sn＜m恒成立，求m的最小值．

??a1q＝2，解：(1)由a2＝2，S3＝7得?

??a1＋a1q＋a1q2＝7，

＋

＋

＋

－－

a＝4，???1?a1＝1，

解得?1或?(舍去)

?q＝2.q＝???2

?1?所以an＝4·?2?n－1

1?＝??2?n－3

.

1??1－4

a1（1－qn）?2n??1

(2)由(1)可知，Sn＝＝＝8?1－2n??＜8. 11－q

1－2因为an＞0，所以Sn是增加的． 又S3＝7，所以当n≥4时，Sn∈(7，8)． 又Sn＜m恒成立，m∈Z，所以m的最小值为8.

4．(2020·河南蚌埠二模)Sn为等比数列{an}的前n项和，已知a4＝9a2，S3＝13，且公比q＞0. (1)求an及Sn；

(2)是否存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

??a（1－q）

＝13，解得a＝1，q＝3， 解：(1)由题意可得?1－q

??q＞0，

1

3

1

a1q3＝9a1q，

所以an＝3

n－1

1－3n3n－1，Sn＝＝.

21－3

(2)假设存在常数λ，使得数列{Sn＋λ}是等比数列， 因为S1＋λ＝λ＋1，S2＋λ＝λ＋4，S3＋λ＝λ＋13，

1

Sn＋1＋

2111

所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝，此时Sn＋＝×3n，则＝3，

2221

Sn＋

21?1?

故存在常数λ＝，使得数列?Sn＋2?是等比数列．

2??