11a7＋a1011a8＋a9
解析：因为＋＝，＋＝，
a7a10a7a10a8a9a8a9由等比数列的性质知a7a10＝a8a9， 1111a7＋a8＋a9＋a10
所以＋＋＋＝
a7a8a9a10a8a915?9?5－＝－. ＝÷
8?8?35答案：－
3
思想方法系列11 分类讨论思想求解数列问题
(2020·武汉市调研测试)已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，a3－4a1＝0. (1)求Sn；
(2)令bn＝an－15，求T＝|b1|＋|b2|＋…＋|b10|的值．
【解】 (1){an}是正项等比数列，由a3－4a1＝0，所以a1q2－4a1＝0 1－2nn
所以q＝2，则an的前n项和Sn＝＝2－1.
1－2(2)由(1)知an＝2n1，
当n≥5时，bn＝2n1－15＞0，n≤4时，bn＝2n1－15＜0， 所以T＝－(b1＋b2＋b3＋b4)＋(b5＋b6＋…＋b10)
＝－(a1＋a2＋a3＋a4－15×4)＋(a5＋a6＋…＋a10－15×6) ＝－S4＋S10－S4＋60－90 ＝S10－2S4－30
＝(210－1)－2×(24－1)－30 ＝210－25－29 ＝1 024－32－29 ＝963.
分类讨论思想在数列中应用较多，常见的分类讨论有： (1)已知Sn与an的关系，要分n＝1，n≥2两种情况． (2)等比数列中遇到求和问题要分公比q＝1，q≠1讨论． (3)项数的奇、偶数讨论．
(4)等比数列的单调性的判断注意与a1，q的取值的讨论．
－
－
－
1．(2020·陕西榆林模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2n1＋λ，则λ＝( ) A．－2 C．1
B．－1 D．2
＋
解析：选A.法一：当n＝1时，a1＝S1＝4＋λ. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2
n＋1
an＋12n1
＋λ)－(2＋λ)＝2，此时＝n＝2.
an2
n
n
＋
a2
因为{an}是等比数列，所以＝2，
a1即
4
＝2，解得λ＝－2.故选A. 4＋λ
法二：依题意，a1＝S1＝4＋λ，a2＝S2－S1＝4，a3＝S3－S2＝8，
2
因为{an}是等比数列，所以a22＝a1·a3，所以8(4＋λ)＝4，解得λ＝－2.故选A.
2．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是( ) A．(－∞，－1]
B．(－∞，0)∪[1，＋∞) C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：选D.设等比数列{an}的公比为q， 11
＋1＋q?＝1＋q＋. 则S3＝a1＋a2＋a3＝a2??q?q1
当公比q>0时，S3＝1＋q＋≥1＋2
q
1
q·＝3，当且仅当q＝1时，等号成立； q
1
－q－?≤1－2 当公比q<0时，S3＝1－?q??所以S3∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
?－1?＝－1，当且仅当q＝－1时，等号成立． （－q）·?q?
[基础题
组练]
1．(2020·河南六校第一次联考)等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4＝( )
A．16 C．8
B．15 D．7
解析：选B.设公比为q，由题意得4a2＝4a1＋a3，即4a1q＝4a1＋a1q2，又a1≠0，所以4q＝4＋q2，
1×（1－24）
解得q＝2，所以S4＝＝15，故选B.
1－2
2．(2020·陕西五校联考)各项为正数的等比数列{an}中，a4与a14的等比中项为22，则log2a7＋log2a11
的值为( )
A．1 C．3
B．2 D．4
解析：选C.由题意得a4a14＝(22)2＝8，由等比数列的性质，得a4a14＝a7a11＝8，所以log2a7＋log2a11
＝log2(a7a11)＝log28＝3，故选C.
3．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an－1，则{an}的通项公式an＝( )
A．2n－1 C．2n－1
B．2n1 D．2n＋1
－
解析：选B.当n＝1时，S1＝2a1－1＝a1，所以a1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，所以an＝2an－1， 因此an＝2n1，故选B.
a1＋a3＋a54．(2020·长春市质量监测(一))已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若公比q＝2，则＝( )
S61A. 32C. 3
解析：选A.法一：由题意知a1＋a3＋a521a11
＝＝，故选A. S663a13
法二：由题意知S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝a1＋a3＋a5＋(a2＋a4＋a6)＝a1＋a3＋a5＋2(a1＋a3＋a5)a1＋a3＋a51＝3(a1＋a3＋a5)，故＝，故选A.
S63
5．(2020·宁夏中卫一模)中国古代数学著作《算法统宗》中有这一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走的路程为( )
A．24里 C．6里
B．12里 D．3里 1
B. 73D．
7
a1＋a3＋a5＝a1(1＋22＋24)＝21a1，而
a1（1－26）S6＝＝63a1，所以
1－2
－
1
解析：选C.记该人每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比q＝的等比数列，
211－6?a1??2?由S6＝378，得S6＝＝378，解得a1＝192，
11－
21
所以a6＝192×5＝6，故选C.
2
1
6．(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝，a2＝a，则S5＝ ．
3461325
解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以(a1q)＝a1q，所以a1q＝1，又a1＝，31
×（1－35）5
a1（1－q）3121
所以q＝3，所以S5＝＝＝.
31－q1－3
1
优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝，所以q＝3，31
×（1－35）
a1（1－q5）3121
所以S5＝＝＝.
31－q1－3
121
答案： 3
7．(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a2a12＝16，则log2a15
＝ ．
解析：等比数列{an}的各项都是正数，且公比为2，a2a12＝16，
12所以a1qa1q11＝16，即a21q＝16，
所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，则log2a15＝log226＝6. 答案：6
8．已知{an}是递减的等比数列，且a2＝2，a1＋a3＝5，则{an}的通项公式为 ；a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N＋)＝ ．
1?解析：由a2＝2，a1＋a3＝5，{an}是递减的等比数列，得a1＝4，a3＝1，an＝4×??2?n－1
，则a1a2＋a2a3
11
＋…＋anan＋1是首项为8，公比为的等比数列的前n项和．故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝8＋2＋＋…＋
421
8×?1－?4??n－1
1?????32??1?n??8×?4?＝＝×1－4.
13????
1－4
1?
答案：an＝4×??2?
n－1n
32??1?n?
× 3?1－?4??