＝0，令q2＝t，则t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4a1（1－q4）＝＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.故选C.
1－q
3．设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则( ) A．数列{an}的公比为2 S6
C.＝8 S3
B．数列{an}的公比为8 S6
D．＝4
S3
a6S6
解析：选A.因为等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，所以＝q3＝8，解得q＝2，所以
a3S3
1－q6
＝＝1＋q3＝9. 1－q3
等比数列的判定与证明(典例迁移)
(1)已知数列{an}是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A．数列{|an|}是等比数列 B．数列{anan＋1}是等比数列
?1?
C．数列?a?是等比数列
?n?
2}是等比数列 D．数列{lg an
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N＋)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
an＋1|an＋1|?an＋1?【解】 (1)选D.因为数列{an}是等比数列，所以＝q.对于A，＝＝|q|，所以数列{|an|}
an|an|?an?
1
an＋1anan＋1an＋22
是等比数列，A正确；对于B，＝q，所以数列{anan＋1}是等比数列，B正确；对于C，＝
1anan＋1an＋1anlg a2lg an＋11?1?n＋12lg an＋1
??＝，所以数列a是等比数列，C正确；对于D，＝＝，不一定是常数，所以D错
qlg a22lg anlg an?n?n误．
(2)证明：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，所以4an＋1－4an－2an＋12an＋1－4an
＝＝2.
an＋1－2anan＋1－2an
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5. 所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
bn＋1an＋2－2an＋1
＝＝bnan＋1－2an
【迁移探究1】 (变问法)若本例(2)中的条件不变，试求{an}的通项公式． 解：由(2)知bn＝an＋1－2an＝3·2n1， an＋1an3所以n＋1－n＝，
242
?an?13
故?2n?是首项为，公差为的等差数列．
24??
－
an133n－1
所以n＝＋(n－1)·＝，
2244所以an＝(3n－1)·2n2.
an
【迁移探究2】 (变条件)在本例(2)中，若cn＝，证明：数列{cn}为等比数列．
3n－1证明：由[迁移探究1]知，an＝(3n－1)·2n2，所以cn＝2n2. cn＋12n1a11所以＝n－2＝2，又c1＝＝，
cn23×1－121
所以数列{cn}是首项为，公比为2的等比数列．
2
等比数列的判定方法
an＋1an
(1)定义法：若＝q(q为非零常数)或＝q(q为非零常数且n≥2)，则{an}是等比数列．
anan－1(2)中项公式法：若数列{an}中an≠0且a2n＋1＝an·an＋2(n∈N＋)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列的通项公式可写成an＝c·qn1(c，q均为不为0的常数，n∈N＋)，则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．
(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
1－
1．(一题多解)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n1＋，则a的值为( )
61A．－
31C．－
2
1B. 31D．
2
－
－
－
－
－
1－－－
解析：选A.法一：当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n1－a·2n2＝a·2n2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所
6
1a1以a＋＝，所以a＝－.
623
111法二：因为等比数列的前n项和Sn＝k×qn－k，则a＝－，a＝－.
263
2．(2019·高考全国卷Ⅱ节选)已知数列{an}和{bn}满足a1＝1，b1＝0，4an＋1＝3an－bn＋4，4bn＋1＝3bn
－an－4.
证明：{an＋bn}是等比数列，{an－bn}是等差数列．
1
证明：由题设得4(an＋1＋bn＋1)＝2(an＋bn)，即an＋1＋bn＋1＝(an＋bn)．
21
又因为a1＋b1＝1，所以{an＋bn}是首项为1，公比为的等比数列．
2由题设得4(an＋1－bn＋1)＝4(an－bn)＋8，即an＋1－bn＋1＝an－bn＋2. 又因为a1－b1＝1，所以{an－bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
等比数列的性质及应用(多维探究) 角度一 等比数列项的性质的应用
a2a16
(1)(2020·洛阳市第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，则
a9
的值为( )
2＋2A．－
2C.2
B．－2 D．－2或2
(2)等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5＝4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝ ． 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的两根，所以a3·a15
＝a29＝2，a3＋a15＝－6，所以
a2a16a29
a3＜0，a15＜0，则a9＝－2，所以＝＝a9＝－2.
a9a9
(2)由题意知a1a5＝a2因为数列{an}的各项均为正数，所以a3＝2.所以a1a2a3a4a5＝(a1a5)·(a2a4)·a33＝4，
2)2·a＝a5＝25.所以loga＋loga＋loga＋loga＋loga＝log(aaaaa)＝log25＝5. ＝(a33321222324252123452
【答案】 (1)B (2)5
角度二 等比数列前n项和的性质的应用
(1)已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q
＝ ．
S61S9
(2)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝ ．
S32S3
???S奇＋S偶＝－240，?S奇＝－80，S偶－160?【解析】 (1)由题意，得解得?所以q＝＝＝2.
S奇－80?S奇－S偶＝80，?S偶＝－160，??
a1（1－q6）a1（1－q3）1S61
(2)设等比数列{an}的公比为q，因为＝，所以{an}的公比q≠1.由÷＝，得
S3221－q1－q1S91－q93
q＝－，所以＝＝.
2S31－q34
3
3【答案】 (1)2 (2)
4
等比数列性质应用问题的解题突破口
等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项公式的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口．
[提醒] 在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要对性质进行适当变形．此外，解题时注意“设而不求”的运用．
1．已知等比数列{an}中，a4＋a8＝－2，则a6(a2＋2a6＋a10)的值为( ) A．4 C．8
B．6 D．－9
222解析：选A.a6(a2＋2a6＋a10)＝a6a2＋2a26＋a6a10＝a4＋2a4a8＋a8＝(a4＋a8)，因为a4＋a8＝－2，所以
a6(a2＋2a6＋a10)＝4.
2．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于( ) A．12 C．14
B．13 D．15
解析：选C.因为数列{an}是各项均为正数的等比数列，所以a1a2a3，a4a5a6，a7a8a9，a10a11a12，…也成等比数列．
b212
不妨令b1＝a1a2a3，b2＝a4a5a6，则公比q＝＝＝3.
b14所以bm＝4×3m1.
令bm＝324，即4×3m1＝324，解得m＝5， 所以b5＝324，即a13a14a15＝324. 所以n＝14.
1591111
3．在等比数列{an}中，若a7＋a8＋a9＋a10＝，a8a9＝－，则＋＋＋＝ ．
88a7a8a9a10
－
－