第3讲 等比数列及其前n项和
一、知识梳理
1．等比数列的有关概念 (1)定义：
①文字语言：一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(非零)． an＋1②符号语言：＝q(n∈N＋，q为非零常数)．
an(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G2＝ab． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝a1qn1．
na1，q＝1，??
(2)前n项和公式：Sn＝?a1（1－qn）a1－anq
＝，q≠1.?1－q?1－q3．等比数列的性质
已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．(m，n，p，q，r，k∈N＋) (1)若m＋n＝p＋q＝2r，则am·an＝ap·aq＝a2r； (2)数列am，am＋k，am＋2k，am＋3k，…仍是等比数列；
(3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，… 仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1)． 常用结论
1．等比数列的单调性
当q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0时，{an}是递增数列； 当q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0时，{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列与指数函数的关系
－
a1
当q≠1时，an＝·qn，可以看成函数y＝cqx，是一个不为0的常数与指数函数的乘积，因此数列
q{an}各项所对应的点都在函数y＝cqx的图象上．
3．等比数列{an}的前n项和Sn＝A＋B·Cn?A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不为零) 二、教材衍化
1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是( ) A．a1，a3，a9成等比数列 C．a2，a4，a8成等比数列
B．a2，a3，a6成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列
解析：选D.设等比数列的公比为q，则a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，满足(a1q5)2＝a1q2·a1q8， 即a26＝a3·a9.
55
2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则q＝ ．
42答案：2
3．在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为 ． 解析：设该数列的公比为q，由题意知， 243＝9×q3，得q3＝27，所以q＝3.
所以插入的两个数分别为9×3＝27，27×3＝81. 答案：27，81
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比都是常数，则这个数列是等比数列．( ) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( ) (3)满足an＋1＝qan(n∈N＋，q为常数)的数列{an}为等比数列．( ) (4)如果{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( ) (5)等比数列中不存在数值为0的项．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ 二、易错纠偏
常见误区(1)运用等比数列的前n项和公式时，忽略q＝1的情况； (2)“G2＝ab”是“a，G，b成等比数列”的必要不充分条件； (3)对等比数列项的符号不能作出正确判断．
1．已知在等比数列{an}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是( ) A．1 1
C．1或－
2
1B．－
21
D．－1或
2
a1q2＝7，??1
解析：选C.当q＝1时，an＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，?a1（1－q3）得q＝－.综上，
2＝21，?1－q?1
q的值是1或－，故选C.
2
2．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝ ．
解析：因数列{an}为等比数列，则a25＝a3a7＝16，又a3＞0，所以a5＝4. 答案：4
3．在等比数列{an}中，a2＝4，a10＝16，则a2和a10的等比中项为 ．
解析：设a2与a10的等比中项为G，因为a2＝4，a10＝16，所以G2＝4×16＝64，所以G＝±8. 答案：±8
等比数列的基本运算(师生共研)
3
(1)(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，S3＝，则S4
4
＝ ．
(2)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16.则an＝ ．
3
【解析】 (1)通解：设等比数列{an}的公比为q，由a1＝1及S3＝，易知q≠1.把a1＝1代入S3＝
4
?1－?－1??1×
a1（1－q3）3a1（1－q4）??2??5312
＝，得1＋q＋q＝，解得q＝－，所以S4＝＝＝. 4421?81－q1－q?1－?－2?
3
优解一：设等比数列{an}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝，a1＝1，所以1＋q＋q2
41?3153113?3－?＝. ＝，解得q＝－，所以a4＝a1·q＝?－2?＝－，所以S4＝S3＋a4＝＋?4284?8?8
优解二：设等比数列{an}的公比为q，由题意易知q≠1.设数列{an}的前n项和Sn＝A(1－qn)(其中A3212
为常数)，则a1＝S1＝A(1－q)＝1 ①，S3＝A(1－q3)＝ ②，由①②可得A＝，q＝－.所以S4＝
4323
4
15
×?1－?－2??＝. ????8
(2)设{an}的公比为q，由题设得 2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0. 解得q＝－2(舍去)或q＝4.
因此{an}的通项公式为an＝2×4n1＝22n1. 5－
【答案】 (1) (2)22n1
8
解决等比数列有关问题的常见数学思想
(1)方程思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论思想：因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，所以当某一参数为公比进行求和时，就要对参数是否为1进行分类讨论．
a1
(3)整体思想：应用等比数列前n项和公式时，常把qn或当成整体进行求解．
1－q
1．(一题多解)(2020·宿州市质量检测)等比数列{an}的各项均为正实数，其前n项和为Sn.若a3＝4，a2a6＝64，则S5＝( )
A．32 C．64
B．31 D．63
－
－
4
?a1·q2＝4，?解析：选B.通解：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由条件得?解得5＝64，?aq·aq?11
??a1＝1，?所以S5＝31，故选B. ?q＝2，?
优解：设首项为a1，公比为q，因为an＞0，所以q＞0，由a2a6＝a24＝64，a3＝4，得q＝2，a1＝1，所以S5＝31，故选B.
2．(2019·高考全国卷Ⅲ)已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3
＝( )
A．16 C．4
B．8 D．2
解析：选C.设等比数列{an}的公比为q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4