资产组合的有效集定理

(一)资产组合收益与风险的测定 1、资产组合的收益

资产组合的预期收益是资产组合中所有资产预期收益率的加权平均。设一项资产组合中含有n项资产，令ri表示第i种资产的收益率，wi表示第i种资产在组合中的比例。则组合P的预期收益率为：

E(rP)=E(w1r1+ w2r2…+ wnrn)

= w1E(r1)+ w2E(r2)+…+ wnE(rn)

=∑wiE(ri) 其中，∑wi =1，i=1，2，…，n。 2、资产组合的风险

衡量资产组合风险的工具是证券组合的方差。资产组合的方差不仅和其组成资产的方差有关，同时还与组成资产之间的相关程度有关。 对于有n项资产的组合P来说，其总方差为：

σP2=∑∑wi wjcov(ri，rj)；wi和 wj分别表示资产i和资产j的投资权重 其中当i=j时，cov(ri，rj)表示资产i收益的方差，即cov(ri，rj)=σi2

当i≠j时，cov(ri，rj)表示资产i和资产j收益间的协方差。用公式表示：

cov(ri，rj) =E{[ ri- E(ri)][ rj- E(rj)]} 协方差反映了两个证券收益同时变化的测度。

如果cov(ri，rj)>0，即协方差为正数，那么证券i和证券j的收益呈同向变化，即当证券i的收益大于其预期收益E(ri)时，证券j的收益也大于它的预期收益。

反之，如果cov(ri，rj)<0，即协方差为负数，那么证券i和证券j的收益呈反向变化。

为了能更清晰地说明两个证券之间的相关程度，通常把协方差正规化，使用资产i和资产j收益间的相关系数ρij，用公示表示:

ρij= cov(ri，rj)/σiσj ，其中σi和σj分别表示证券i和j的标准差，ρij的取值范围为[-1,1]。

当ρij=1时，证券i和j是完全正相关的。 当ρij=-1时，证券i和j是完全负相关的。 当ρij=0时，证券i和j之间不存在相关关系

重点关注由两种证券构成的投资组合：

这一投资组合的收益：

E(rP)=E(w1r1+ w2r2)= w1E(r1)+ w2E(r2) 这一投资组合的方差：

σP2= w12σ12+ w22σ22+ 2w1 w2 cov(r1，r2) = w12σ12+ w22σ22+ 2w1 w2ρ12σ1σ2

当ρ12=1时，σP= w1σ1+ w2σ2；此时组合标准差等于组合中单个证券标准差的加权平均值。

当ρ12=0时，σP=(w12σ12+ w22σ22)1/2 当ρ12=-1时，σP=｜w1σ1- w2σ2｜

显然，投资组合的标准差在ρ12=-1时最小，ρ12=1时最大。

例：已知证券组合P是由证券1和证券2构成，两种证券的预期收益和标准差分别为E(r1)=20%，σ1=10%；E(r2)=25%，σ2=20%，并且两种证券的权重分别为w1= w2=50%，请计算由这两种证券所构成的证券组合P的预期收益率，并分别计算ρ12=1，ρ12=0，ρ12=-1时证券组合P的标准差。 答：证券组合P的预期收益率为：

E(rP)=50%×20%+50%×25%=22.5% 证券组合P的标准差分别为：

当ρ12=1时，σP= w1σ1+ w2σ2=50%×10%+50%×20%=15%

当ρ12=0时，σP=(w12σ12+ w22σ22)1/2=(50%2×10%2+50%2×20%2)1/211.2% 当ρ12=-1时，σP=｜w1σ1- w2σ2｜=｜50%×10%-50%×20%｜=5%

需要指出的是，证券组合分散化的效果大小取决于证券之间的相关系数。随着相关系数从1增加到-1，即证券之间由完全正相关发展到完全负相关，证券组合的标准差减少到最小，分散化效果也在不断显现。

(二)资产组合的可行集

可行集，也叫投资机会集合，是指资本市场上由风险资产可能形成的所有投资组合的总体。我们已经知道，对于任何一个单一证券，都可以用期望收益率和标准差来描述，那么在均值——方差平面图上我们可用相对应的点来表示该证券，其中横坐标表示该证券的标准差，纵坐标表示该证券的期望收益率。 相应的任何一个投资组合也可以用组合的期望收益率和标准差确定出坐标系中的一个点。这一点将随着组合的权数变化而变化，其轨迹将是经过A和B的一条连续曲线，这条曲线是证券A和证券B的组合线。这条组合线就是由证券A和证券B构成的可行集，也称为投资机会集合。可行集上的每一点都表示一个由证券A和证券B构成的可能的组合。 由2种证券构成的可行集——双曲线的一部分

由2种以上证券构成的可行集——均值—方差平面上的一个区域，整个可行集呈雨伞状，可行集区域的左侧边界仍然是双曲线的一部分。

大同煤业收益 11% 大同煤业标准差 14.93% 大同煤业与工商银行相关系数 工商银行收益 5% 工商银行标准差 10.80% -0.82

通过设置不同的投资比重，可以得出不同的组合收益率和组合标准差，将这些不同的组合点（标准差、收益率）相连，可以得到一条平滑的凹形曲线——投资机会集合——投资机会集合，又叫可行集。可行集参考自编教材中可行集解释。

大同煤业工商银行

组合收益率 组合标准差

比重 比重 1 0 11% 14.93% 0.9 0.1 10.4% 12.57% 0.8 0.2 9.8% 10.25% 0.7 0.3 9.2% 8.01% 0.6 0.4 8.6% 5.95% 0.5 0.5 8.0% 4.33% 0.4 0.6 7.4% 3.77% 0.3 0.7 6.8% 4.66% 0.2 0.8 6.2% 6.42% 0.1 0.9 5.6% 8.54% 0 1 5.0% 10.80%

(三) 可行集与相关系数

如上所述，可行集左侧边界曲线通常为双曲线的一部分。可行集左侧边界

曲线向左弯曲的程度取决于证券A、B之间的相关程度。随着相关系数由1变成-1，可行集左侧边界曲线变得越来越向左弯曲，这说明随着相关系数的降低，组合的标准差在逐渐减小，组合的风险得到了有效降低。

从图中可以看出当相关系数ρ=1时，可行集左侧边界曲线是连接证券A和B的一条直线；

随着相关系数降到0，可行集左侧边界曲线开始显著向左弯曲，变成一条凹形曲线；

当相关系数为负，可行集左侧边界曲线进一步向左拉伸。