第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
1.正弦定理和余弦定理 定理 公式 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bc·cos_A; abcsin A=sin B=sin C=2R.(R为△ABC外接圆半b2=c2+a2-2ca·cos_B; 径) c2=a2+b2-2ab·cos_C b2+c2-a2cos A=2bc; c2+a2-b2cos B=2ca; a2+b2-c2cos C=2ab 公式 变形 (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C; (2)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; abc(3)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R 2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下: A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a=bsin A 一解 bsin A<a<b 两解 a≥b 一解 a>b 一解 3.三角形常用面积公式 1(1)S=2a·ha(ha表示边a上的高); 111(2)S=2absin C=2acsin B=2bcsin A;
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1
(3)S=2r(a+b+c)(r为内切圆半径). [常用结论]
1.三角形内角和定理 在△ABC中,A+B+C=π; A+BπC
变形:2=2-2. 2.三角形中的三角函数关系
(1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C; A+BA+BCC(2)sin2=cos 2;(4)cos2=sin 2. 3.在△ABC中,sin A>sin B?A>B?a>b, cosA>cos B?A<B?a<b. 4.三角形射影定理 a=bcos C+ccos B b=acos C+ccos A c=acos B+bcos A
5.三角形中任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
[基础自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)在△ABC中,若A>B,则必有sin A>sin B.
( )
(2)在△ABC中,若b2+c2>a2,则△ABC为锐角三角形. ( ) (3)在△ABC中,若A=60°,a=43,b=42,则B=45°或135°.( ) a+b-ca(4)在△ABC中,sin A=. ( )
sin A+sin B-sin C[解析] (1)正确.A>B?a>b?sin A>sin B.
b2+c2-a2
(2)错误.由cos A=
2bc>0知,A为锐角,但△ABC不一定是锐角三角形.
(3)错误.由b<a知,B<A.
(4)正确.利用a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C,可知结论正确. [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
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2.(教材改编)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 C.钝角三角形
B.直角三角形 D.不能确定
abc
C [由正弦定理,得2R=sin A,2R=sin B,2R=sin C,代入得到a2+b2<
222a+b-c
c2,由余弦定理得cos C=2ab<0,所以C为钝角,所以该三角形为钝角
三角形.]
3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=2,cos 2
A=3,则b=( )
A.2 B.3
C.2 D.3
2
D [由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×3, 1
解得b=3或b=-3(舍去),故选D.]
4.在△ABC中,A=45°,C=30°,c=6,则a等于( ) A.32 B.62
C.26 D.36
accsin A6×sin 45°
B [由正弦定理得sin A=sin C,所以a=sin C=sin 30°=62.] 5.(教材改编)在非钝角△ABC中,2bsin A=3a,则角B为( ) ππA.6 B.4
ππC.3 D.2 C [由2bsin A=3a得2sin Bsin A=3sin A. 3
∴sin B=2,又B是锐角或直角. π∴B=3.]
利用正、余弦定理解三角形 第3页 共13页
C5
【例1】 (1)(2020·全国卷Ⅱ)在△ABC中,cos 2=5,BC=1,AC=5,则AB=( )
A.42 B.30 C.29 D.25
(2)(2020·青岛模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A等于( )
3πA.4
πB.3
ππC.4 D.6 -1
C5C
2
(1)A (2)C [(1)因为cos 2=5,所以cos C=2cos 2-1=2×
3
=-5.于是,在△ABC中,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=52+12-2×5×1×
=32,所以AB=42.故选A.
(2)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=2b2-2b2cos A. 又a2=2b2(1-sin A),所以sin A=cos A,即tan A=1, π
又A是三角形内角,则A=4,故选C.] [规律方法] 应用正弦、余弦定理的解题技巧 ?1?求边:利用公式解. ?2?求角:先求出正弦值,再求角,即利用公式sin A=或其他相应变形公式求解. ?3?已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. ?4?灵活利用式子的特点转化:如出现a2+b2-c2=λab形式用余弦定理,等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. (1)(2020·郑州模拟)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边, 且(b-c)(sin B+sin C)=(a-3c)sin A,则角B的大小为( )
A.30°
B.45°
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或其他相应变形公式求C.60° D.120°