第六节 正弦定理和余弦定理
[考纲传真] 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
1．正弦定理和余弦定理 定理 公式 正弦定理 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc·cos_A； abcsin A＝sin B＝sin C＝2R.(R为△ABC外接圆半b2＝c2＋a2－2ca·cos_B； 径) c2＝a2＋b2－2ab·cos_C b2＋c2－a2cos A＝2bc； c2＋a2－b2cos B＝2ca； a2＋b2－c2cos C＝2ab 公式 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； abc(3)sin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R 2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin A＜a＜b 两解 a≥b 一解 a＞b 一解 3.三角形常用面积公式 1(1)S＝2a·ha(ha表示边a上的高)； 111(2)S＝2absin C＝2acsin B＝2bcsin A；
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1
(3)S＝2r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． [常用结论]
1．三角形内角和定理 在△ABC中，A＋B＋C＝π； A＋BπC
变形：2＝2－2. 2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； A＋BA＋BCC(2)sin2＝cos 2；(4)cos2＝sin 2. 3．在△ABC中，sin A＞sin B?A＞B?a＞b， cosA＞cos B?A＜B?a＜b. 4．三角形射影定理 a＝bcos C＋ccos B b＝acos C＋ccos A c＝acos B＋bcos A
5．三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在△ABC中，若A＞B，则必有sin A＞sin B．
( )
(2)在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形． ( ) (3)在△ABC中，若A＝60°，a＝43，b＝42，则B＝45°或135°.( ) a＋b－ca(4)在△ABC中，sin A＝. ( )
sin A＋sin B－sin C[解析] (1)正确．A＞B?a＞b?sin A＞sin B.
b2＋c2－a2
(2)错误．由cos A＝
2bc＞0知，A为锐角，但△ABC不一定是锐角三角形．
(3)错误．由b＜a知，B＜A.
(4)正确．利用a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，可知结论正确． [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)√
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2．(教材改编)在△ABC中，若sin2A＋sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形
B．直角三角形 D．不能确定
abc
C [由正弦定理，得2R＝sin A，2R＝sin B，2R＝sin C，代入得到a2＋b2＜
222a＋b－c
c2，由余弦定理得cos C＝2ab＜0，所以C为钝角，所以该三角形为钝角
三角形．]
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝5，c＝2，cos 2
A＝3，则b＝( )
A.2 B.3
C．2 D．3
2
D [由余弦定理得5＝b2＋4－2×b×2×3， 1
解得b＝3或b＝－3(舍去)，故选D.]
4．在△ABC中，A＝45°，C＝30°，c＝6，则a等于( ) A．32 B．62
C．26 D．36
accsin A6×sin 45°
B [由正弦定理得sin A＝sin C，所以a＝sin C＝sin 30°＝62.] 5．(教材改编)在非钝角△ABC中，2bsin A＝3a，则角B为( ) ππA.6 B.4
ππC.3 D.2 C [由2bsin A＝3a得2sin Bsin A＝3sin A. 3
∴sin B＝2，又B是锐角或直角． π∴B＝3.]
利用正、余弦定理解三角形 第3页 共13页
C5
【例1】 (1)(2020·全国卷Ⅱ)在△ABC中，cos 2＝5，BC＝1，AC＝5，则AB＝( )
A．42 B.30 C.29 D．25
(2)(2020·青岛模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sin A)，则A等于( )
3πA.4
πB.3
ππC.4 D.6 －1
C5C
2
(1)A (2)C [(1)因为cos 2＝5，所以cos C＝2cos 2－1＝2×
3
＝－5.于是，在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos C＝52＋12－2×5×1×
＝32，所以AB＝42.故选A.
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝2b2－2b2cos A. 又a2＝2b2(1－sin A)，所以sin A＝cos A，即tan A＝1， π
又A是三角形内角，则A＝4，故选C.] [规律方法] 应用正弦、余弦定理的解题技巧 ?1?求边：利用公式解. ?2?求角：先求出正弦值，再求角，即利用公式sin A＝或其他相应变形公式求解. ?3?已知两边和夹角或已知三边可利用余弦定理求解. ?4?灵活利用式子的特点转化：如出现a2＋b2－c2＝λab形式用余弦定理，等式两边是关于边或角的正弦的齐次式用正弦定理. (1)(2020·郑州模拟)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边， 且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－3c)sin A，则角B的大小为( )
A．30°
B．45°
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或其他相应变形公式求C．60° D．120°