第一章 绪 论
§1-1观 测 误 差
1.1.01 为什么说观测值总是带有误差,而且观测误差是不可避免的？ 1.1.02 观测条件是由哪些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？ 1.1.03 测量误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测成果有何影响？试 举例说明。
1.1.04 用钢尺丈量距离，有下列几种情况使量得的结果产生误差，试分别判定 误差的性质及符号：
（1） 长不准确； （2） 尺尺不水平； （3） 估读小数不准确； （4） 尺垂曲；
（5） 尺端偏离直线方向。
1.1.05 在水准测量中，有下列几种情况使水准尺读数带有误差，试判别误差的 性质及符号：
（1） 视准轴与水准轴不平行； （2） 仪器下沉； （3） 读数不准确； （4） 水准尺下沆。
§1-2测量平差学科的研究对象
1.2.06 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？ 1.2.07 测量平差的基本任务是什么？
§1-3测量平差的简史和发展
1.3.08 高斯于哪一年提出最小二乘法？其主要是为了解决什么问题？ 1.3.09 自20世纪五六十年代开始，测量平差得到了很大发展，主要表现在那些方面？
§1-4 本课程的任务和内容
5
1.4.10 本课程主要讲述哪些内容？其教学目的是什么？
第二章 误差分析与精度指标
§2-1 正态分布
2.1.01 为什么说正态分布是一种重要的分布？试写出一维随机变量X的正态分布概率密度式。
6
§2-2 偶然误差的规律性
2.2.02 观测值的真误差是怎样定义的？三角形的闭合差是什么观测值的真误差？
2.2.03 在相同的观测条件下，大量的偶然误差呈现出什么样的规律性？ 2.2.04 偶然误差*服从什么分布？它的数学期望和方差各是多少？
§2-3 衡量精度的指标
2.3.05 何谓精度？通常采用哪几种指标来衡量精度？
2.3.06 在相同的观测条件下，对同一个量进行若干次观测得到一组观测值，这些观测值的精度是否相同？能否认为误差小的观测值比误差大的观测值精度高？
2.3.07 若有两个观测值的中误差相同，那么，是否可以说这两个观测值的真误差一定相同？为什么？
2.3.08 为了鉴定经纬度的精度，对已知精确测定的水平角α=45O00’00”作12次观测，结果为：
45o00’06” 44o59’55” 44o59’58” 45o00’04” 45o00’03” 45o00’04” 45o00’00” 44o59’58” 44o59’59” 44o59’59” 45o00’06” 45o00’03” 设α 没有误差，试求观测值的中误差。
2.3.09 有一段距离，其观测值及其中误差为345.67m+_15mm。试估计这个观测值的真误差的实际可能范围是多少？并求出该观测值的相对中误差。
2.3.10 已知两段距离的长度及其中误差分别为300.465m+_4.5cm及
660.894m+_4.5cm，试说明这两段距离的真误差是否相等？它们的精度是否等？
§2-4 精度、准确度与精确度
2.4.11 试写出协方差的定义式，并说明它是怎样描述这两个观测值之间的相互关系的。
2.4.12 两个独立观测值是否可称为不相关观测值？而两个观测值是否就是不独立观测值呢？
2.4.13 相关测量值向量X的协方差阵是怎样定义的？试说明DXX中各个元素的含
7
义。当向量X中的各个分量两两相互独立式，其协方差阵有什么特点？ 2.4.14 试写出描写两个观测值向量X和Y之间相互关系的互协方差阵的定义式，并说明DXY中各个元素的含义。
2.4.15 何谓准确度？何谓精确度？当观测值中不存在系 统误差时，精确度就是精度吗？
§2-5 测量不确定度
2.5.16 测量数据的不确定性和不确定度是怎样定义的？不确定度评定的标准是什么？
§2-6 综合练习题
2.6.17 社队某量进行了两组观测，它们的真误差分别为： 第一组：3，-3,2,4，-2，-1,0，-4,3，-2 第二组：0，-1，-7,2,1，-1,8,0，-3,1
?2，?1、??2和中误差??试求两组观测值的平均误差??1、并比较两组观测值的精度。
设有观测值向量X=【L1 L2】T，已知σt1=2秒，σt2=3秒，σ
21t1t2
=-2秒2，试写出
其协方差阵DXX。
2.6.19 设有观测值向量X=【L1 L2 L3】T的协方差阵Dxx={}，试写出观测值L1、
3133L2及L3的中误差以及协方差σ
L1L2
、σ
L1L3
和σ
L2L3
。
第三章协方差传播律及权
§3-1数学期望的传播
3. 1.01数学期望是怎祥定义的？何谓数学期望的传播？试写出数学期望传播的运算公式.例如.已知同精度观测值=xi(i=1,2,```,n)的数学期望均为μ，问
1其算术平均值x=
n?i?1nxi的数学期望等于多少？
§3-2协方差传播律
3.2.02什么是协方差传播律？其主要用来解决什么问题？
8
3.2.03协方差传播律主要包含哪几个公式？试写出这些公式的推导过程。 3.2.04能否说协方差传播律就是误差传播律？为什么？
3.2.05当观测值的函数是非线性形式时，应用协方差传播律应注意哪些问題？试举
例说明之。
3. 2. 06试简述应用协方差传播律的计算步骤。
3.2.07下列各式中的Li(i = l，2，3)均为等精度独立观测值，其中误差为σ,试求X的 中误差：
（1）X=1/2(L1+L2)+L3 （2）X=L1L2/L3
3.2.08 巳知观测值的中误差σ1=σ2=σ, σ12 =0，设X=2L2+5,Y =L1 -2L2, Z=L1L2,t=X+Y,试求X,Y,Z和t的中误差。
3. 2. 09 已知独立观測值L1,L2的中误差为σ1和σ2,试求下列函数的中误差：
(1) X=L1-2L2; (2) Y=0.5L12+L1L2; (3) Z=sinL1/sin(L1+L2).
3.2. 10设有观测值向量L = [L1 L2 L3]T，其协方差阵为
?400???DLL=?030?,
?002???试分别求下列函数的方差：
⑴ F1-L1 -3L3； (2)F2 =3L2L3。
?6?1?2???(3)3.2.11设有观测值向量L = [L lL2 L3]T,其协方差阵为DLL=??141?,
??212???试分别求下列函数的方差： (1)F1=L1+3L2-2L3;
9
(2)F2=L1+L2 +L。
3. 2. 12已知观测值向量L及其协方差阵DLL，组成函数X=AL,Y=BX,试求协方差
阵 DXL，DYL和DXY.
3. 2. 13 设有观测值向量L=[L1 L2 L3]T,其协方差阵为
312
123DLL=?0?30?1?? 41????112???n11n21n313. 2. 14已知观测值向量L1，L2和L3及其协方差阵为
?D11??D21?D?31D12D22D32D13??D23?, D33??现组成函数
X=AL1+A0
Y=BL2+B0
Z=CL3+C0
式中,A,B,C为系数阵,A0,B0,C0为常数阵.令W=[X Y Z],试求协方差阵DWW。 3. 2. 15 已知边长S及坐标方位角α的中误差各位σs和σα，试求坐标增量ΔX=S2cosα和ΔY=S2sinα的中误差。
3 2. 16设有同精度独立观测值向量L=[L1 L2 L3]T的函数为
31T
Y1=SAB
sinL1，Y2=αAB-L2 sinL3式中，aAB和SAB为无误差的已知值，测角中误差σ =1\，试求函数的方差
2?2y1，?y2及协方差?y1y2。
3. 2. 17 在图 3-1 的ΔABC 中，由直接观测得 b = 106. 00m ±0.06m，β= 29°39'土1'和γ=120°07' ±2'，试计算边长c及其中误差σ
c
3.2. 18在图3-2的ΔABC中测得∠A±σA,边长b±σb，a±σc,试求三角形面积的中误差σs。
3.2.19由已知点A(无误差）引出支点P,如图3-3所示。a。为起算方位角，其中σ0,观测角β和边长S的中误差分别为σ
β
和σS，试求P点坐标X，Y的
10
协方差阵。
3．2. 20为了确定图3-4中测站A上B、C、D方向间的关系，同精度观测了三个角，其值为L1=45°02'，L2 =85°00，'L3=40°01'。设测角中误差σ = 1\，试求：
(1)观测角平差值的协方差阵；
(2)观测角平差值L1关于L3的协方差。
??
§3-3协方差传播律的应用
3- 3. 21水准测量中两种计算高差中误差的公式为σ公里，它们各在什么前提条件下使用？
hAB
=Nσ站
和σ
hAB
=Sσ
?的N3. 3. 22试简述同精度独立观测值的算术平均值中误差的计算公式σx =推导过程，并说明此式使用的前提条件。
3.3.23怎样计算交会定点的点位方差？纵向方差及横向方差各是由什么因素引起的误差？
3.3.24在巳知水准点A、B(其髙程无误差）间布设水准路线，如图3-5所示。路线长 为S1 =2km,S2 =6km,S3 =4km,设每千米观测高差中误差a = 1. 0mm,试求：
11
（1）将闭合差按距离分配之后P1,P2两点间高差的中误差；
（2）分配闭合差后P1点高程的中误差。
3.3.25在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1cm，今要求从已知点推算待定点的髙程中误差不大于5cm,问可以设多少站？
3.3.26若要在两已知髙程点间布设一条附合水准路线（图3-6)，已知每千米观测中误差等于5.0mm,欲使平差后线路中点C点髙程中误差不大于lOmm，问该线路长度最多可达几千米？（提示：Hc?=HA+h1,Hc?=HB-h2，HC=(Hc?+Hc?)/2)
3. 3. 27在图3-7中，由已知点A丈量距离S并测量坐标方位角α，借以计算P点的坐标。观测值及其中误差为S = 127.00mm±0.03m,α=30°00'±2.5'，设A点坐标无误差，试求待定点P的点位中误差σP。 3. 28有一角度测4测回，得中误差0.42'问再增加多少测回其中误差为0. 28\？ 3,3.29在图3-8的梯形稻田中，测量得上底边长为a=50. 746m，下底边长为b = 86. 767m,髙为h = 67.420m，其中误差分别为σa=0.030m，σb=0.040m，σh=0.034m,试求该梯形的面积S及其中误差σS
3.3.30设图3-9的△ABC为等边三角形，观测边长和角度得观测值为b± σb=1000m ± 0. 015m,α=β=60°00'00\，且为使算得的边长a具有中误差σa =0. 02m，试问角α和β的观測精度应为多少？ §3-4杈与定权的常用方法
12
3.4.31权是怎样定义的？权与中误差有何关系？有了中误差为什么还要讨论权？
2?023.4.32在公式中Pi=2中，?0表示什么？?i2能否是不同量的观测值的方
?i差？
3.4.33什么叫做单位权、单位权观测值及单位权中误差？对于某一个平差问题,它们的值是惟一的吗？为什么？
3, 4. 34水准测量中的两种常用定权公式Pi=件下使用？
试说明两式中C的含义。
3. 4. 35设某角的三个观测值及其中误差分别为
30°41'20\2.0\30°41'26\4.0\30°41'16\1.0\
现分别取2.0\、4. 0〃及1.0\作为单位权中误差.试按权的定义计算出三组不同
的观测值的
权，再按各组权分别计箅这个角的加权平均值X及其中误差??
x3. 4. 36在相同观测条件下，应用水准测量測定了三角点A,B,C之间的髙差，
设该三角形边长分别为S1 =10km，S2 =8km,S3=4km,令40km的髙差观测值为单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
3.4.37设n个同精度观测值的权为P，其算术平均值的权为P，问P与P的关系
如 何？
3. 4. 38设一长度为d的直线之丈量结果的权为1，求长为D的直线之丈量结果
的权。
3. 4. 39在图3-10中，设巳知点A，B之间的附合水准路线长为80km,令每千米
观测髙差的权等于1，求平差后线路中点（最弱点）C点高程的权及该点平差前的权。
??CC和Pi=各在什么前提条
Si?i?3.4.40以相同精度观测∠A和∠B,其权分别为PA =
求单
位权中误差σ0和∠A的中误差σA。
3.4.41设对∠A进行4欢同精度独立观测，一次
11 ,PB= ，已知σB =8\试42测角中误差为2. 4\已知4次算术平均值的权为2。试问：（1)单位权观測是什么？
（2)单位权中误差等于多少？（3)欲使∠A的权等于6,应观测几次？ 3.4.42设对A角观测4次,取平均得α值，每次观测中误差为3\对B角观测9
次,取平均得β值，每次观测中误差为4\试确定α，β的,权各是多少？ [解]令C' = l，则由定权公式
P i=
得
Pα=4，Pβ=9。
试问以上这样定权对吗？为什么？
3.4.43设对某一长度进行同精度独立观测，已知一次观测中误差σ=2mm,设4次观测值平均值的权为3。试求：（1)单位权中误差σ。；（2)—次观测值的权；（3)欲使平均值的权等于9，应观测几次？
3.4.44在相同条件下丈量两段距离S1=100m，S2=900m，设对S1丈量3次平均值的权PS1=2mm，试求对S2丈量5次平均值的权PS2。
3.4.45由已知水准点A,B和C向待定点D进行水准测量，以测定D点髙程（图 3-11）。各线路长度为S1 =2km，S2 =S3 =4km,S4=1km，设2km线路观测高差为单位权观测值，其中误差σ0=2mm.试求：（1)D点高程最或是值（加权平均值）的中误差σD;(2)A、D两 点间髙差最或是值的中误差σAD。
3.4.46设有水准网如图3-12所示。网中A,B和C为已知水准点，P1 =P3 =P5 =2， P2=P4 =5，单位权中误差σ0=2mm试求：（1）D点高程最或是值（加权平均值）之中误差;
(2)C、D两点间高差最或是值之中误差σCD。
Ni ?C14
§3-5协因数和协因数传播律
3.5.47什么叫做协因数？卄么叫做相关权倒数？它们与观侧值的方差或协方差有何关系？
3.5.48观测值向量的协因数阵和权阵各是怎样定义的？它们之间有什么关系？
3 5.49设观测值向量L的协因数阵为QLL，权阵为PLL，试问(1)协因数阵的
n1nnnn对角元
素Qii是观测值Li的权倒数吗？（2）权阵的对Pii是观测值Li的权吗？为什么？
3. 5. 50何谓协因数传播律？其主要用来解决什么问题? 3-5.51协因数传播律主要包含哪几个公式？试写出其推导过程。
3.5.52什么是权倒数传播律？试写出其公式并说明应用该公式的前提条件。 3. 5. 53巳知观測值向量L的协因数阵为L
LL?3?1?QLL=??，试求观测值的权PL1和PL2。
?12??3.5.54 已知观测值向量L的权阵为
21?5?2? PLL=??，
??24?试求观测值的权PL1和PL2。
3.5.55设有观测值向量L=[L1 L2]T的权阵为
21?6 PLL=?5??3??53?5?， ?9??5? 15
22单位权方差?0=3.试求?1，?22，σ
12
以及PL1和PL2。
3.5.56 已知观测值向量L的协方差阵为
21 DLL=?2???1?1? ?3?以及L1的协因数Q11=
22，试求单位权方差?0，权阵PLL和PL1，PL2。 5313.5.57 已知观测值向量L的协方差阵为 DLL=??60?2??，
?041???212???2单位权方差?0=2，现有函数F=L1+3L2-2L3，试求：（1）函数F的方差DF和协因数QF；
（2）函数F关于观测值向量L的协方差阵DFL和协因数阵QFL
31?X?3.5.58 已知观测值向量Z=?21?的权阵为
31Y??11?? ＰＺＺ＝??20?1??，
?02?1???1?12???试求ＰＸＸ，ＰＹＹ以及Ｐｘ１，Ｐｘ２和Ｐｙ。 ３．５．５９ 已知观测值向量L的协方差阵为
214 ＤＬＬ＝???1??， ?12??观测值Ｌ１的权ＰＬ１＝１，现有函数Ｆ１＝Ｌ１＋３Ｌ２－４，Ｆ２＝５Ｌ１－Ｌ２＋
１，试求：（１）Ｆ１与Ｆ２是否统计相关？为什么？（２）Ｆ１与Ｆ２的权ＰＦ１和ＰＦ２。
３．５．６０ 设有一系列不等精度的独立观测值Ｌ１，Ｌ２和Ｌ３，它们的权分别为Ｐ１，Ｐ２和Ｐ３，试求下列各函数的权倒数（协因数）： （１）Ｘ＝P1Ｌ１； （２）Ｙ＝
1（Ｌ１＋Ｌ２）＋Ｌ３；216
2（３）Z =L1－L33
3. 5. 61已知观测值a、b、c的权分别为Pａ=Ｐｂ＝２，Ｐｃ＝３，ｘ＝３０°，ｙ=60。（无误差)，试
求函数 Ａ＝a2 sinx + b – cosｘ + 2c2 sinx2cosy 的权PA。 3．5. 62设有函数Ｆ＝ｆ１ｘ＋ｆ２ｙ，其中 ｘ＝α１Ｌ１＋α２Ｌ２＋?＋αｎＬｎ， ｙ＝β１Ｌ１＋β２Ｌ２＋?＋βｎＬｎ，
αｉ，βｉ（ｉ＝１，２，?，ｎ）为无误差的常数，而Ｌ１，Ｌ２，?，Ｌｎ，
的权分别为Ｐ，Ｐ?，Ｐ1１２，ｎ，试求函数Ｆ的权倒数P。
F３．５．６３ 已知观测值向量L21的协因数阵为
Ｑ?21?ＬＬ＝??12??，
试求向量Ｙ＝??Y1??Y?＝??11??L1?2??21??＝?L? ?2?的协因数阵Ｑｙｙ。
３．５．６４ 已知观测值向量L21的协因数阵为
Ｑ?12?ＬＬ＝??21??，
设有函数
Ｙ＝??11??21??Ｌ，
Ｚ＝??21??11??Ｌ，
Ｗ＝２Ｙ＋Ｚ．
试求协因数阵Ｑｙｙ，Ｑｙｚ，Ｑｘｚ，Ｑｙｗ，Ｑｚｗ和Ｑｗｗ。
３．５．６５ 在途３－１３中，令方向观测值ｌｉ（ｉ＝１，２，?，１０）的协因数阵Ｑｕ＝Ｉ，试求角度观测值向量L61的协因数阵ＱＬＬ。
３．５．６６ 在图３－１４中，令方向观测值ｌｉ（ｉ＝１，２，?，１２）的协因数阵Ｑｕ＝Ｉ，试求角度观测值向量L81的协因数阵ＱＬＬ。
３．５．６７ 已知独立观测值向量L31的协因数阵的单位阵，组成方程
Vn1＝BntXt1－Ln1
ＢＴＢＸ－ＢＴＬ＝０
式中，ＢＴＢ为可逆阵。由上式得解向量 Ｘ＝（ＢＴＢ）－１ＢＴＬ
17
后，即可计算改正数向量Ｖ和平差值向量
L＝Ｌ＋Ｖ。
?
（１）试求协因数阵ＱＸＸ和Q??
LL（２）改正数向量Ｖ与Ｘ，Ｖ与L是否相关？试证明之。
?§3-6由真误差计算中误差及其实际应用
?3.6.68在菲列罗公式??＝吗？计算
得到的σ
β
?Wi?1n2i3n中，Ｗｉ代表什么量？ n是观测值的个数
是什么量的中误差？
3.6.69 —个观测对的差数ｄ是双观测差的什么误差？为什么？
3.6. 70在公式?0＝单位权中
??PPiii?1n23n中，Ｐｉ是什么量的权? ｎ等于什么？求得的
误差?0代表什么量的中误差？
３．6. 71某一距离分三段各往返丈量一次,其结果如表3-1所示。令1km量距的权为单位权，试求：
(１)该距离的最或是值S;. （２）单位权中误差； （３）全长一次测量中误差；
?18
（４)全长平均值的中误差； （５）第二段一次测量中误差。 表3-1 段 号 １ 2 3 往测/m 1 000. 009 2 000.011 3 000. 008 返测/m 1 000. 007 2 000. 009 3 000. 010
3．6．72 有一水准路线分三段进行测量，每段均作往返观测，观测值见表3－2.
路线长度/tm 2.2 5.3 1.0 表3-2
往_高差An 2. 563 1.517 2. 526 返测髙差/m 2. 565 1,513 2. 526 令2km观测高差的权为单位权，试求： （１）单位权中误差；
（２）各段一次观拥高差的中误差; (３)各段髙差平均值的中误差； （４）全长一次观测高差的中误差； （５）全长髙差平均值的中误差
§3-7系统误差的传播
3．7. 73何谓观测值的综合误差？它包括哪些误差？观测值的综合方差是怎样定义的？
3.7.74试写出系统误差的传播公式及系统误差与偶然误差的联合传播公式。 3.7.75用钢尺童距，共测量12个尺段，设量一尺段的偶然中误差（如照准误差等）为σ＝０．００１ｍ，钢尺的检定中误差为ε＝０．０００２ｍ,试求全长综合中误差σ全。
3.7.76设有相关观测值L的两组线性函数
n1 19
t1z＝KLK0
tnn1t1Y＝FL＋F0
s1snn1s1已知L的综合误差为?=Δ＋?，式中Δ和?分别为观测值L的偶然误差与系统误
n1n1n1n1n1差,L的 协方差阵为
??11?12??1n???????2n2122?， ＤＬＬ＝????????????n2nn??n1试求Z的综合方差阵ＤＺZ＝Ｅ（ΩＺΩＺＴ）及Ｚ与Ｙ的综合协方差阵ＤＺＹ＝Ｅ（ΩＺΩｙＴ）。
§3-8综合练习题
3.8. 77在图3-15的ΔAＢP中，Ａ，Ｂ为已知点，Ll、Ｌ2和Ｌ３为同精度独立观测值，其中
误差σ = 1\，试求平差后P点坐标x、y的协方差阵。
3.8.78有一水准路线如图3-16所示。图中Ａ，Ｂ点为已知点，观测髙差ｈ１和ｈ2以求 P点的高程。设h１和h2的中误差分别为σ１和σ２，且已知σ１=2σ２，单位权中误差σ０＝σ２,若要求P点高程的中误差σｐ=2mｍ，那么，观测精度σ１和σ２的值各应是多少？
图 3-15
?3?1?Ｔ
3．8.79巳知观测值向量L＝［Ｌ１ Ｌ２］的协方差阵为ＤＬＬ＝??，21??12?设有观测值函
数Ｙ１＝２Ｌ１Ｌ２ 和 Ｙ２＝Ｌ１＋Ｌ２，试求协方差σ
Ｙ１Ｙ２
σ
Ｙ１Ｌ
和σ
Ｙ２Ｌ１
。
3.8.80 已知距离ＡＢ=100m，丈量一次的权为2，丈量4次平均值的中误差为2cm，若 以同样的精度丈量距离ＣＤ16次，CＤ=40０Ｍ，求两距离丈量结果的相对中误差。
20
3．8. 81在图3－１7的附合导线中;同精度观测了β１、β２、β３和β4４角度，测角中误差σβ＝３\，边长Ｓ１，Ｓ２和Ｓ３的中误差分别为σｍｍ，σ
ｓ２
ｓ１
＝６
＝９ｍｍ，σ
ｓ３
＝１２ｍｍ，试分别以 角度观测值和边长观测值为
单位权观测值,计算Pβｉ和Ｐｓｊ。
3. 8．82知观测值向量L的权阵为
21?2?3ＰＬＬ＝??1??31?3??， 2??3?现有函数Ｘ＝Ｌ１＋Ｌ２，Ｙ＝３Ｌ１ 值的权ＰＬ１和PＬ２。
3．8. 83已知观测值向量L的协方差
31，试求ＱＸＹ，ＱＸＬ、ＱＹＬ以及观测
21
?30?1???ＤＬＬ＝?041?
??112???2单位权方差?0＝２.现有函数φ１＝Ｌ１2Ｌ２，φ２＝２Ｌ１－Ｌ３，试求
Ｄφ１，Ｄφ２，Ｄφ１φ２以及Ｑφ１，Ｑφ２，Ｑφ１φ２。
3．8．84 设有观测值向量L＝［Ｌ１ Ｌ２ Ｌ３］Ｔ，其权阵为
31?5?21?1??ＰＬＬ＝??24?2?
8???1?25?试问：（１）L中各观测值是否相互独立？
31(2)设 L'=［Ｌ１ Ｌ２］T，求ＰＬ'Ｌ'
3．8. 85单一三角形的三个观测角Ｌ１ Ｌ２和L3的协因数阵ＱＬＬ =Ｉ，现
W将三角形闭合差平均分配到各角，得L＝Ｌｉ－,式中W＝Ｌ１+Ｌ２＋Ｌ
i33
?-180°，
（１）试求Ｗ，L，L，L的权； 312（２）Ｗ与L＝［L，L，L］Ｔ是否相关？试证明之。 312313．8. 86在图3－１８中，为了确定测站Ａ上Ｂ，C，D方向间的关系，同
???????精度观测了三个角度，其值为L1=45°02'，L2=85°00'，L3=40°01'.设单位权中误差σ0等于测角中误差σ，即σ0=σ=1\，试求：（1）观测角平差值的协因数阵；（2）∠BAC与∠CAD平差值的协因数。
图 3-18
22
第四章 平差数学模型与最小二乘原理
§4-1 测量平差概述
4.1.01 误差发现的必要条件是什么
4.1.02 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素数是必要观测数码？为什么?
4.1.03 必要观测值得特征性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量？如何确定几何模型中的必要元素？试举例说明。
§4-2 函数模型
4.2.04 四种基本平差方法的函数模型是按照什么来区分的？ 4.2.05 平差的好书模型中的未知量是什么？已知量是什么？
4.2.06 在平差的函数模型中n、t、r、u、s、c等字母各代表什么量？它们之间有何几何关系？
4.2.07 是确定图4-1所示的图形中条件方程的个数。
（a）已知点：A、B （b）已知点：A、B 观测值：h1~h8 观测值：h1~h12
（c）已知点：XA、YA、XB、YB （d）已知点：XA、YA、XB、YB、αAC、αBD
观测值：L1~L19 观测值：β1 ～β6、S1~S5
23
4.2.08 试按条件平差法列出图4-2所示图形的函数模型。 （a）已知点：A、B （b）已知点：A、B
观测值：h1h4 观测值：β1β3、S1、S2
图4-2
4.2.09 试按条件平差法列出图4-3所示图形的函数模型。 （a）已知点：A、B （b）已知点：A、B
观测值：L1L6 观测值：L1L8（方向）
图4-3
4.2.10 试按间接平差法列出图4-3所示图形的函数模型。
24
4.2.11 试按间接平差法列出图4-3所示图形的函数模型。
§4-3函数模型的线性化
4.3.12 通常用什么公式将线性函数模型转化成线性函数模型？并说明应具备什么条件。
4.3.13 在下列非线性方程中，A为已知值，L1为观测值，写出其线性化的形式。
（1）
，
（2）
（3）
（4）
4.3.14 试将非线性方程
25
线性化（式中XA、YA、αAB为已知值，为参数真值，且
为观测真值，且）。
§4-4 测量平差的数学模型
4.4.15 测量平差的函数模型和随机模型分别表示哪些量之间的什么关系？
4.4.16 观测值得真值是不可求的，通常用什么量来估计真值？
§4-5 参数估计与最小二乘原理
4.5.17 在什么情况下产生参数估计问题？所估计的是哪些参数？ 4.5.18 在已介绍的四种基本平差方法的函数模型中，其方程的一个共同特点是什么？能否从方程中获得待求量的唯一解？为什么？
4.5.19 进行参数估计的准则有多种，为什么要选择最小二乘原理作为参数估计的准则？
4.5.20 最小二乘原理的核心是什么？由此估计的参数具有哪些性质？ 4.5.21 用最小二乘准则来进行参数估计，对观测误差有无要求？ 4.5.22 对某一未知量进行了n次同精度独立观测，得观测值
,
如果用算术平均值作为未知量的估值，这个故事是根据什么准则得到的？
4.5.23 最小二乘与最大似然估计有什么关系？
§4-6 综合练习题
4.6.24 指出线面所列方程属于基本平差方法中的哪一类函数模型，并说明每个
方程中的n、t、r、u、c、s等量各为多少。（式中A、B为已知数）
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（a） （b）
（c） （d）
4.6.25 在图4-6的水准网中，A为已知点，B、C、D、E为待定点，观测了9条路线的高差
，试问该模型可练出多少个条件方程？
4.6.26 在图4-6的水准网中，列出下列四周年情况的函数模型，并指出方程的个数：
（1）选取B、C、D三点的高程平差值为参数； （2）选取（3）选取
的高差平差值为参数； 的平差值为参数；
（4）选取B、E两点间的高差为参数。
27
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