31???i?cos(?)?isin(?),所以z3??i226622??因为???i?cos()?isin(),所以?4?12244z2?3z2?3z?z3?4于是????i6分z?z?z?|z|2|?|2因为z?2分4分
由此得OP⊥OQ,│OP│=│OQ│.
由此知△OPQ有两边相等且其夹角为直角,故△OPQ为等腰直角三角形.---10分
(21)(本小题满分11分)
已知数列｛an｝,｛bn｝都是由正数组成的等比数列,公比分别为p,q, 其中p>q,且p≠1,q≠1.设cn=an+bn,sn为数列｛cn｝的前n项和.求
lim
[Key] 本小题主要考查等比数列的概念、数列极限的运算等基础知识,考查逻辑推理能力和运算能力.满分11分.
Snn??Sn?1a1(pn?1)b1(qn?1)Sn??p?1q?1Sna1(q?1)(pn?1)?b1(p?1)(qn?1)?n?1n?1Sa(q?1)(p?1)?b(p?1)(q?1)11解: n?1,分两种情况讨论. (Ⅰ)p>1.
?p?q?0,o?q?1,pn3分
?limSnn??Sn?11qn1p[a1(q?1)(1?n)?b1(p?1)(n?n)ppp?limn??1qn?11n?1p[a1(q?1)(1?n?1)?b1(p?1)(n?1?n?1)ppp1qn1a1(q?1)(1?n)?b1(p?1)(n?n)ppp?plimn?1n??1q1a1(q?1)(1?n?1)?b1(p?1)(n?1?n?1)pppa(q?1)?p?1a1(q?1)
=p. -------------7分 (Ⅱ)p<1.
∵ 0 Snn??Sn?1 lima1(q?1)(pn?1)?b1(p?1)(qn?1)?limn??a(q?1)(pn?1?1)?b(p?1)(qn?1?1)11??a1(q?1)?b1(p?1)?1?a1(q?1)?b1(p?1) -------11分 (22)(本小题满分12分) 甲、乙两地相距S千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过c千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b;固定部分为a元. (Ⅰ)全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域; (Ⅱ)为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶? [Key] 本小题主要考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识,考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力,满分12分. （1）依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为s/v，全程运输成本为 y?a?ssa?bv2?s(?bv)vvv -------------4分 故所求函数及其定义域为 ay?S(?bv),v?(0,c]v.. -------------5分 (Ⅱ)依题意知S,a,b,v都为正数,故有 aS(?bv)?2Sabv aaavS(?bv)?S(?bc)?S[(?)?(bv?bc)]vcvcS?(c?v)(a?bcv)vc 因为c-v≥0,且a>bc2,故有 a-bcv≥a-bc2>0, 也即当v=c时,全程运输成本y最小. (23)(本小题满分12分) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点. (Ⅰ)证明AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1; [Key] 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,考查逻辑推理能力和空间想象能力,满分12分. 11?IV?设AA1?2，求三棱锥F?A1ED1的体积VF?AED 解:(Ⅰ)∵AC1是正方体, ∴AD⊥面DC1. 又D1F面DC1, ∴AD⊥D1F. -------------2分 (Ⅱ)取AB中点G,连结A1G,FG.因为F是CD的中点,所以GF、AD平行且相等,又A1D1、AD平行且相等,所以GF、A1D1平行且相等,故GFD1A1是平行四边形,A1G∥D1F. 设A1G与AE相交于点H,则∠AHA1是AE与D1F所成的角,因为E是BB1的中点,所以Rt△A1AG≌Rt△ABE,∠GA1A=∠GAH，从而 ∠AHA1=90°,即直线AE与D1F所成角为直角. -------------5分 (Ⅲ)由(Ⅰ)知AD⊥D1F,由(Ⅱ)知AE⊥D1F,又AD∩AE=A,所以D1F⊥面AED.又因为D1F面A1FD1,所以面AED⊥面A1FD1. -------------7分 (Ⅳ)连结GE,GD1. ∵FG∥A1D1,∴FG∥面A1ED1, ∵AA1=2, 3面积S△A1GE=S□ABB1A1-2S△A1AG--S△GBE=2 (24)(本小题满分12分) 设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根x1,x2满足 0?x1?x2?1a (Ⅰ)当x∈(0,x1)时,证明x (II)设函数的图象f(x)关于直线x?x0对称，证明x0?x12. [Key] 本小题主要考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识,考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力.满分12分. 证明:(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x.因为x1,x2是方程f(x)-x=0的根,所以 F(x)=a(x-x1)(x-x2). ------------2分 当x∈(0,x1)时,由于x1 所以x1?x>0,1+a(x?x2)=1+ax?ax2>1?ax2>0. 得 x1-f(x)>0.