当x>0时，g′(x)>0，故g(x)为增函数．
综上知，g(x)在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数． [规律方法] 函数的单调性与导数的关注点 (1)关注函数的定义域，单调区间应为定义域的子区间． (2)已知函数在某个区间上的单调性时转化要等价． (3)分类讨论求函数的单调区间实质是讨论不等式的解集． (4)求参数的范围时常用到分离参数法． [跟踪训练] 2．已知a∈R，函数f(x)＝(－x＋ax)e(x∈R)． (1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围． [解] (1)当a＝2时，f(x)＝(－x＋2x)e， f′(x)＝(－x＋2)e.
当f′(x)＞0时，(－x＋2)e＞0， 注意到e＞0，
所以－x＋2＞0，解得－2＜x＜2.
所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2)．同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．
(2)因为函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立． 又f′(x)＝[－x＋(a－2)x＋a]e， 即[－x＋(a－2)x＋a]e≥0， 注意到e＞0，
因此－x＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立， x＋2x1
也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立．
x＋1x＋11
设y＝x＋1－，
x＋1则y′＝1＋
1＋
2
2
2x2
x
2
x
2x
2
x
2
x
2
x
2
x
＞0，
1
即y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，
x＋113
则y＜1＋1－＝，
1＋123故a≥. 2
?3?即a的取值范围为?，＋∞?. ?2?
导数与函数的极值(最值)及恒成立问题 已知函数f(x)＝x－3ax－9ax＋a. 3223(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；
13
(2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，f(x)≥a－12a恒成立，试确定a的取值范围.
3
【导学号：97792174】
[思路探究] (1)先求f′(x)＝0的根，再判断极值点，求极值．
(2)先求f(x)在x∈[1,4a]时的最小值f(x)min，再解不等式f(x)min≥a－12a求a的范围．
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝x－3x－9x＋1且f′(x)＝3x－6x－9，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝3. 当x＜－1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜3时，f′(x)＜0， 因此x＝－1是函数的极大值点， 极大值为f(－1)＝6；
当－1＜x＜3时，f′(x)＜0，当x＞3时，f′(x)＞0， 因此x＝3是函数的极小值点，极小值为f(3)＝－26. 122
(2)∵f′(x)＝3x－6ax－9a＝3(x＋a)(x－3a)，a＞，
3∴当1≤x＜3a时，f′(x)＜0； 当3a＜x≤4a时，f′(x)＞0.
∴x∈[1,4a]时，f(x)的最小值为f(3a)＝－26a. 由f(x)≥a－12a在[1,4a]上恒成立得－26a≥a－12a， 22
解得－≤a≤.
33112
又a＞，∴＜a≤. 333
3
3
33
3
2
2
3
?12?即a的取值范围为?，?.
?33?
[规律方法] 一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具. [跟踪训练] 923
3．设函数f(x)＝x－x＋6x－a.
2
(1)对于任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值； (2)若方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围． [解] (1)f′(x)＝3x－9x＋6＝3(x－1)(x－2)， 因为x∈(－∞，＋∞)，f′(x)≥m， 即3x－9x＋(6－m)≥0恒成立， 所以Δ＝81－12(6－m)≤0， 33
得m≤－，即m的最大值为－.
44(2)因为当x<1时，f′(x)>0；
当1
2
2
5
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
2当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a； 故当f(2)>0或f(1)<0时，
5
方程f(x)＝0仅有一个实根，解得a<2或a>.
2
导数与不等式问题 ln x＋k 已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))x
e
处的切线与x轴平行．
(1)求k的值；
(2)求f(x)的单调区间；
(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数．证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e. [思路探究] (1)利用f′(1)＝0求k. (2)判断f′(x)的正负． (3)借助(2)的结论，构造函数． 1
－ln x－kx
[解] (1)f′(x)＝， x
e1－k
由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1.
e1
－ln x－1x
(2)由(1)知，f′(x)＝. x
e
111
设k(x)＝－ln x－1，则k′(x)＝－2－＜0，即k(x)在(0，＋∞)上是减函数，
xxx由k(1)＝0知，当0＜x＜1时，k(x)＞0，从而f′(x)＞0， 当x＞1时，k(x)＜0，从而f′(x)＜0.
综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞)．
(3)证明：由(2)可知，当x≥1时，g(x)＝xf′(x)≤0＜1＋e，故只需证明g(x)＜1＋e在0＜x＜1时成立．
当0＜x＜1时，e＞1，且g(x)＞0， 1－xln x－x
∴g(x)＝＜1－xln x－x. x
e设F(x)＝1－xln x－x，x∈(0,1)， 则F′(x)＝－(ln x＋2)， 当x∈(0，e)时，F′(x)＞0， 当x∈(e
－2,
－2
x
－2
－2－2
1)时，F′(x)＜0，
－2
－2
－2
所以当x＝e时，F(x)取得最大值F(e)＝1＋e. 所以g(x)＜F(x)≤1＋e.
－2
综上，对任意x＞0，g(x)＜1＋e.
[规律方法] 利用导数解决不等式问题(如：证明不等式，比较大小等)，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解. [跟踪训练] 12
4．已知函数f(x)＝x－aln x(a∈R)，
2(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值； (2)求f(x)的单调区间；
1223
(3)求证：当x＞1时，x＋ln x＜x.
23
aa4
[解] (1)f′(x)＝x－，因为x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)＝x－＝
x2x＋
x
－
，因为f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)
－2
＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个极小值点，则a＝4.
ax－a
(2)因为f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
xxax－a
当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝xx递减区间为(0，a)．
231212
(3)证明：设g(x)＝x－x－ln x，则g′(x)＝2x－x－，因为当x＞1时，g′(x)＝
32x
－
x
2
2
2
＋a
x
－a
，所以函数f(x)的单调递增区间为(a，＋∞)；
＋x＋
11223
＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝＞0，所以当x＞1时，x＋ln x＜x.
623
导数的实际应用 现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部的形状是正四棱锥P-A1B1C1D1，下部的形状是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如图3-1所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱锥的高PO1的4倍．
图3-1
(1)若AB＝6 m，PO1＝2 m，则仓库的容积是多少？
(2)若正四棱锥的侧棱长为6 m，则当PO1为多少时，仓库的容积最大？
[思路探究] (1)利用锥体和柱体的体积公式求解；(2)利用锥体和柱体的体积公式建立目标函数，结合导数法求解．
[解] (1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因为A1B1＝AB＝6，